阅读与思考　为什么√2不是有理数教学实录与评析

6.1平方根（共3课时）

第

1课时

算术平方根

【学习目标】

1.了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性

2.能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根

【学习重点】

了解算术平方根的概念、性质、会用根号表示一个正数的算术平方根

【学习难点】理解算术平方根的双重非负性

［探究研讨］

【活动1】学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？

正方形的

面积

边长

1

9 16 36 4

35 2这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（问题导入）

自学教材，回答问题：

1.

一般地，如果一个___ 数x的平方等于a，即x=a，那么这个______叫做a的_________．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：______的算术平方根是0.

记作0=

2.由以上定义可知如果x=a，那么x就叫a的算术平方根吗？判断下列语句是否正确？

①5是25的算术平方根（ ） ②-6是36的算术平方根（ ）

③0.01是0.1的算术平方根（ ）

④-5是-25的算术平方根（ ）

3.3的算术平方根可表示为 ，4的算术平方根可表示为 ，你还能表示出那些数的算术平方根？写在下面，和同座交流一下 4.试一试：你能根据等式：12=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．

【活动2】例：求下列各数的算术平方根：

（1）100；(2) ［跟踪训练］

1、

1.非负数a的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0.64的算术平方根____，0的算术平方根是____ 2.的算术平方根是（ ） 4

22249；(3) 0.0001 ；⑷ 0； 641

1111 B． C． D．

821623.若x是49的算术平方根，则x=（ ）

A．A. 7 B. －7 C. 49 D.－49 24.小明房间的面积为10.8米，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 . ［变式训练］想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？

⑴0.16 ⑵1［跟踪训练］

1.81___,112 ⑶(3) ⑷0.25

2516121____,_____

25812.16的算术平方根是_____, 3.若x47，则x的算术平方根是（ ）

A. 49 B. 53 C.7 D 53.

【活动3】思考：－4有算术算术平方根吗？为什么？

总结：1.正数有 的算术平方根

0的算术平方根是 负数 2.对于a：a

0 具有双重非负性

a

0

［跟踪训练］

1．下列哪些数有算术平方根？

0.03， -1316，

π， 0，

（-3）2，（-1）

2.下列各式中无意义的是（ ）

A．7 B．7 C.7 D．3. 下列运算正确的是（ ）

A．33

B．33 C．93

D．93

72

4.若下列各式有意义，在后面的横线上写出x的取值范围：

⑴x ⑵5x 5.若a2b30，则a= ,b= ,ab ．

2

［提升能力］

1.一个自然数的算术平方根为a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______ 2.一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的n倍，它的边长变为原来的 倍. 3.如图：

0 a b 那么，ab有意义吗？

4.要使代数式x23有意义，则x的取值范围是（ ）

A. x2 B. x2 C. x2 D. 25.若x1y3xyz0，求x,y,z的值。

［反思归纳］

算术平方根的定义、表示方法和性质

1.

求一个非负数的算术平方根

2.

a的双重非负性

x2

6.1平方根（2）

6.1平方根（共3课时）

第

2课时

算术平方根

主备人:

，二次备课人:

，三次备课人:

。

【学习目标】

1.理解有些非负数的算术平方根不是一个有理数

3.能用逼近法估算a（a不是完全平方数）的算术平方根的大小，增强数感

【学习重点】能用逼近法估算a（a不是完全平方数）的算术平方根的大小

【学习难点】通过估算能比较类似a（a不是完全平方数）的数的大小

［知识回顾］

1、算术平方根的意义及表示方法。

2、说出下列各数的算术平方根。

100 0.0049 362 4 25

25［探究研讨］

某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置AFD上,•再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.•请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米. 【活动1】

CBE怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形

动手画一画，若确实不会，则学生间进行交流。

问题1：画出拼成的大正方形的草图。

问题2：你能求出大正方形的边长吗？（动动脑）

讨论：2有多大？

思考：你对正数a的算术平方根a的结果有怎样的认识呢？

［巩固练习］1.你能快速的说出下列各数的算术平方根吗？

⑴

121

⑵

1

⑶

7

⑷

8 81你能求出7的算术平方根的值吗？它是一个

的数，近似值为

（精确到0.1）

2.估算3

5

10

，你还能估算出哪些数37的大小（全部精确到0.1）

的大小？根据你估算的结果，用“＞”把这些数字连接起来

总结：由上可知:两个非负数中较大的，它的算术平方根

（也较大/较小）

比较大小：

⑴20

31

⑵1

73

4

⑶65

⑷-6

10

65【活动2】

例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,她可以怎样剪? 若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2她又该怎样剪?只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗? ［提升能力］

1.比较311与的大小

222.若a是30的整数部分，b是30的小数部分，试确定a、b的值。

3.某人开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2. (1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米) (2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少?(•精确到0.01) ［反思归纳］

3.

当a不是一个完全平方数时，能用逼近法求a的近似值

4.

通过求近似值比较大小。规律：被开方数越大，算术平方根越大

5.

体会数学来自生活，又用之生活的思想

6.1平方根（3）

6.1平方根（共3课时）

第

3课时

平方根

主备人:

，二次备课人:

，三次备课人:

。

【学习目标】

1.理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。

2.学会平方根的表示法和求非负数的平方根。运用平方根的知识解决实际问题

3.体会从一般到特殊的数学思想方法

【学***方根的概念和表示方法

【学习难点】求一个非负数的平方根

【学习过程】

［知识回顾］

21.∵（ ）=81 ∴81的算术平方根是 （对算术平方根概念的回忆）

42.求下列各数的算术平方根：

⑴

⑵

0.25

⑶

225

⑷

（-5）2

9（为例4做准备；体会不同形式的数字的算术平方根的求法；回忆算术平方根的性质）

3.求下列各式的值：

⑴

0.09

⑵

121

⑶

-289

（为例5做准备）

［探究研讨］

【问题1】

①如果一个数的平方等于9，这个数是多少？（引导学生和上节课的问题作对比，看两者之间有什么区别和联系）

②填表

x2

x

1

9

16

9

25总结平方根的概念：

例4：根据平方根的概念求下列各数的平方根

⑴

100

⑵

9

⑶

0.25 16亠你还能举出其它的例子吗？

【问题2】：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算和平方运算有什么关系？

，可以用什么方法求一个数的平方根？（认识开平方运算，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系）

【问题3】通过对例4的解答，你认为正数的平方根有什么特点？0的平方根呢？负数呢？

总结平方根的性质：

正数有

个平方根，它们

，0的平方根是

，负数

【问题4】用什么方法来表示正数的两个平方根呢？阅读课本P74“归纳”下面的一段话，回答下列问题：在平方根的表示方法中，根号前面为什么会有两个性质符号？

①

被开方数a为什么要大于或等于0 ②

在数字下面的横线上，表示该数的平方根

4

400

0.81

2

9

［巩固练习］

⑴

10的平方根可表示为

；算术平方根为

；负的平方根可表示为

⑵（-4）2的平方根可表示为

；算术平方根可表示为

；负的平方根克表示为

例5：说出下列各式表示的意义，并求值

⑴

144

⑵- 0.81

⑶±122/196

［拓展延伸］

1、

课本P751-3题

2、

判断下列说法是否正确

⑴5是25的算术平方根 （ ） ⑵2525是的一个平方根

（ ）

636⑶4的平方根是－4

（ ） ⑷

0的平方根与算术平方根都是0 （ ）

2、⑴121____,⑵1.69____,⑶49____,⑷1000.32____

3、若x7，则x_____，x的平方根是_____

［能力提升］

1.

x为何值时，下列各式有意义？

（1）2x　（2）x　（3）x1　（4）1xx

2.

下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由. ⑴-64 ⑵0 ⑶144 ⑷25 2 ⑸ (-16 ) ⑹

4 813.

如果一个正数的两个平方根为a1和2a7，请你求出这个正数

24. 解方程 3x-27=0

5.讨论：（1）（0.01）2＝

，（5）2＝

；

（2）162＝

，(16)2＝

，(5)2＝

；

通过计算你有什么发现？

［反思归纳］

⒈本节课学习内容

⑴平方根的概念（注意和算术平方根概念的区别和联系）

⑵认识开平方运算（清楚和平方运算互为逆运算）

⑶平方根的性质

（正数的两个平方根互为相反数：正的平方根即为算术平方根；如果给出其中的一个平方根，另一个平方根即可知）

⑷平方根的表示方法：（不能丢符号）

a（a≥0）

6.2立方根

6.2立方根（共1课时）

第

1课时

立方根

主备人:

，二次备课人:

，三次备课人:

。

【学习目标】

1.了解立方根的概念，能用根号表示一个数的立方根；了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；理解“两个互为相反数的立方根的关系

2体会一个数的立方根的惟一性；分清一个数的立方根与平方根的区别

3.渗透特殊----一般----特殊的思想方法。

【学习重点】立方根的概念和求法。

【学习难点】

立方根与平方根的区别。

【学习过程】

［知识回顾］说出下列各式表示的意义，并求值

⑴

256

⑵81

⑶

2

⑷

0.3____1649

____,100［探究研讨］

【活动1】要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

由以上问题，有x3=27，即x3=a的形式，和上节课学***方根（x2=a）有什么区别？

【活动2】阅读课本P77-78“探究”以上的内容，理解以下知识

1.

立方根（三次方根）的概念

2.

什么是开立方运算？和立方运算有什么关系？

3.

立方根有什么性质？与平方根有什么不同？

4.

数的立方根用什么符号表示？与平方根有什么区别？

［随学随练］

1.

8有

个立方根，是

，可以表示为

，即：

=

（考察数的立方根的性质和表示方法）

2. 如果x3=8，那么x=

3. 立方根等于本身的数为

4. -3是

的平方根，是

的立方根

5. 表示，并求出下列数的立方根

⑴

-10

⑵

1

⑶

0

⑷-0.008 276.下列说法中不正确的是（

）

（A）

8的立方根是2（B）

-8的立方根是-2（C）

64 的立方根为2

（D ）125的立方根为±5 11-27 的绝对值是（

）

（A）

3

（B）-3

（C）

（D）

-

33【活动3】例：说出下列各式表示的意义并求值

7.

333⑴64

⑵125

⑶

321027327

⑷64

［巩固练习］

1.

求下列各式的值

⑴

－1【活动4】探究

3333因为8____,8____,所以8

8

3333因为27____,27____，所以27

27

92733

⑵729 +512

你能把发现的结论用含字母a的式子表示出来吗？

［巩固练习］

331251.

同学甲在计算上面例题的第2小题时，用了这种方法：125=－125 =－5，3你认为这种方法

（正确/不正确），不正确的话怎样改正？

3同学乙在计算上面例题的第4小题时，用了这样的方法：27364=－

32764=－

4你认为这种方法

（正确/不正确），不正确的话怎样改正？

同学丙认为把立方根的性质3a=－3a，扩展到平方根中也会有类似的性质，即

-a =－a ，你认为正确吗？为什么？

32.

计算0.027 －3［提升能力］

1.

当x

时，4x有意义；当x

时，34x有意义

2.下列等式成立的是（

）

（A）

311253+-0.001

1=1

（B）

3225=15

（C）

23125=－5

（D）39=－3 3.64的立方根是

，38的平方根是

，3512的立方根是

4.下列计算或命题中正确的有（

）

①±4都是64的立方根

②3x3=x

③

27 的立方根是3

④3(8)2=±4 （A）

1个

（B）

2个

（C）3个

（D）4个

5.求下列各式中的x ⑴8x3+125=0

⑵（x+3）3+27=0

6.已知16x3=9，y3=8，求x+y的值

7.已知一个数的两个平方根分别是3a+1和a+11，求这个数的立方根

8.计算下列两组式子，看看你会有什么发现？

⑴（32）3=

（

30.1 ）3=

（33132）=

⑵3(2)3=

(0.1)3=

3(12)3=

你的发现是：

回忆：平方根有类似的性质吗？

［反思归纳］

1.

立方根的概念、表示方法和性质

2.

体会立方根从概念、表示方法和性质等方面的区别

3.

两个规律性的计算3a=－333a；（a ）3=a3

体会从特殊---一般----特殊的数学学习方法

6.3实数（1）

6.3实数（共2课时）

第

1课时

实数

主备人:

，二次备课人:

，三次备课人:

。

【学习目标】

1. 了解无理数和实数的概念

2.会对实数按照一定的标准进行分类；知道实数和数轴上的点的关系.能估算无理数的大小

3.了解实数范围内相反数和绝对值的意义

【学习重点】正确理解实数的概念

【学习难点】理解实数的概念; 体会数轴上的点与实数是一一对应的.

【学习过程】

【知识回顾】

1、什么是有理数?如何分类? 2、2是这样的数么? 【合作交流，解读探究】

【活动1】

探究：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？

3 ， 

，

35479115

，

，

，

98119我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即

33.0

，34791150.6

，5.875

，0.81

，1.2

，0.5

958119归纳：

任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.(板书) 讨论：2是不是有理数呢？为什么？

归纳：2不是整数，不是有限小数，也不是无限循环小数，所以2不是有理数. 2是无限不循环小数（板书：无限不循环小数）. 定义：无限不循环小数又叫无理数，3.14159265也是无理数

结论：

有理数和无理数统称为实数

学生举例：有理数 无理数

整数有理数有限小数或无限循环小数 整理：实数

分数无理数无限不循环小数

正有理数正实数正无理数实数0负有理数负实数负无理数

试探练习，回授调节：

1.填空：

在-19，3.878787…，π633，6，16，1.414，27，，4这些数中，

27有理数是 ；

无理数是 ；

2.判断对错：对的画“√”，错的画“×”. (1)无理数都是无限小数. （ ） (2)无限小数都是无理数. （ ）

(3)25是无理数. （ ） (4)15是无理数. （ ）

(5)带根号的数都是无理数（ ） (6)有理数都是实数. （ ）

【活动2】

我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？

探究

1.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？

O O’

2.

总结：

①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________

当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数

②

与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______

讨论：

当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？

总结

数a的相反数是______，这里a表示任意____________。一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______ 【学以致用】

1、

的相反数是

，绝对值

2、绝对值等于

的数是

， 的平方是 3、

4、求绝对值

5.已知实数a、置如图所示：

化简

b、c在数轴上的位c

a

O

b

2cacbabacb6.下列说法正确的有（

）

⑴不存在绝对值最小的无理数

⑵不存在绝对值最小的实数

⑶不存在与本身的算术平方根相等的数

⑷比正实数小的数都是负实数

⑸非负实数中最小的数是0 A. 2个

B. 3个

C. 4个

D.5个

【能力提升

】： 1、

把下列各数填入相应的集合内：

有理数集合{ } 无理数集合{ } 整数集合{ } 分数集合{ } 实数集合{ } 2、下列各数中，是无理数的是（ ）A. 1.732

B. 1.414

C. 3

D. 3.14

3、已知四个命题，正确的有（

）

（1）有理数与无理数之和是无理数

⑵有理数与无理数之积是无理数

（3）无理数与无理数之积是无理数

⑷无理数与无理数之积是无理数

（5）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D.4个

4、若实数a满足aa1，则（

）

A. a0

B. a0

C. a0

D. a0

【总结反思

】： 无理数的特征: 1．圆周率及一些含有的数 2．开不尽方的数

3．有一定的规律，但不循环的无限小数

注意:带根号的数不一定是无理数

）

6.3实数（2）

6.3实数（共2课时）

第

2课时

实数

主备人:

，二次备课人:

，三次备课人:

。

【学习目标】

1.

了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。

2.

会用计算器进行实数的运算。

3.

进一步感受实数与数轴上的点一一对应的关系，体验数形结合的优越性。

4.

发展学生的类比与归纳能力。

【学习重点】实数的有关性质及利用实数的性质解决相关问题

【学习难点】能准确无误地进行实数运算

【学习过程】

【知识回顾】

1. 每一个无理数都可以用数轴上的 表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示 . 实数与数轴上的点就是 的，即每一个实数都可以用 上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个 . 2、2的相反数是 ．－π的相反数是 ．0的相反数是 ．

∣－2∣= ，∣－π∣= ，∣0∣= ．

【合作交流，解读探究】

【活动1】 1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律

2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律

3、平方差公式、完全平方公式

4、有理数的混合运算顺序

【活动2】

例2、计算下列各式的值

（1）（2+3）-2

（2）33+23

总结：

实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的

例3、用精确度计算实数（结果保留两位小数）

（1）、5+

（2）、32

总结：

在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算

【拓展延伸】

1.计算：

(1)22－32； (2)

.

（3）

3232

2（4）

21

提示

（3）式的结构是平方差的形式

（4）式的结构是完全平方的形式

总结：

在实数范围内，乘法公式仍然适用

【能力提升】

1.计算：充分体现实数之间的各种运算，且正数和0可以进行开平方运算，任意一个数可以进行开立方运算。

2322. （1）

3＋π＋7（精确到0.01）；

5202232（2）

223

（3）

2552

（4）

a2a

2.化简：进一步体会数形结合的思想。

（1）

已知实数a、b、c在数轴上的位置如下，

化简

c

ababb

O 2a

ca2c2（2）、已知a、b、c在数轴上如图，化简

a

b

O

3.

应用：提升学生解决问题的能力。

a2abca2bc

c

如图，平面上有四个点，它们的坐标分别是A(2，

2)，22)，B(5，22)，C(5，D(2，2).（1）顺次连接A、B、C、D围成的四边形是什么图形？（2）这个四边形的面积是多少？

（3）将这个四边形向上平移22个单位长度，

四边形的四个顶点的坐标变为多少？

【反思与归纳】

1.本节课学习的内容主要是实数的运算

2.学习方法：类比法

3.主要体现的数学思想：数形结合 类比

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