建立一元二次方程解决几何问题教案设计

第二章

一元二次方程

第1课时

花边有多宽（一）

学习目标：

1、了解一元二次方程及其相关概念

2、经历抽象一元二次的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。

重点难点：

重点是一元二次方程的概念及其一般形式，难点是从生活的具体事例中去理解一元二次方程概念的具体含义，感受方程思想。

一、课前预习检测：

1．只含有____________未知数，并且未知数____________的整式方程，叫做一元二次方程.

2．一元二次方程的一般形式为____________.

3．下列关于方程：（1）x22xy10，（2）x35x70，（3）2x2x30，（4）5x20，（5）2xx12x25，（6）ax2bxc0，（7）x2（8）m23x23x20；其中是一元二次方程的是____________（只填序号）.

4．方程2x13x11化为一元二次方程的一般形式为__________________，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为__________、__________、__________.

5．若方程m1x2mx3是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是____________.

二、新知理解：

（一）一元二次方程的定义：

一个方程整理后如果只含有一个未知数，且未知数的最高项次数是二次的方程，叫做一元二次方程.

例1

试判断：关于x的方程2a4x22bxa0.

（1）何时为一元二次方程？

（2）何时为一元一次方程？

变式议练：

1．若关于x的方程k3xk111，

4x24223x1是一元二次方程，则k=____________.

2．关于x的方程k21x22k1x2k20，当____________时为一元二次方程，当____________时为一元一次方程.

（二）一元二次方程的一般形式：

b，a0）方程ax2bxc0（a，，称为一元二次方程的一般形式其中ax2，c为常数，bx，c分别叫做二次项、一次项和常数项；a，b分别称为二次项系数和一次项系数.



例2

将下列方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）2x1x13x4；

2

（2）23x23xx3

2

变式议练：

已知关于x的一元二次方程a4x23ax2a6的常数项为4，求二次项系数和一次项系数.

（三）应用：

例3

如图，某小区规划在一个长40m、26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植花草，若使每块草坪的面积为144m2，求道路的宽度. 若设道路的宽度为xm，试根据题意列出方程.

AD

BC

变式议练：

华新商场销售某种空调，每台进价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台. 商场要想使这种空调的销售利润平均每天达到5000元，每台空调的定价应为多少元？

如果设每台空调降价x元. 那么每台空调的定价是______________元，每台空调的销售利润是______________元，平均每天销售空调的数量为______________台，根据题意可得方程______________，化为一般形式是______________，其中二次项系数、一次项系数和常数项依次为______________、______________、______________.

三、课堂小结

1、一元二次方程及其相关概念，注意一元二次方程概念的几个要素：（1）整式方程；（2）一个未知数；（3）最高项次数是二次；(4)最高项系数不为零。

2、一元二次方程的一般形式及确定各项的系数。

3、会根据实际问题列出简单的一元二次方程去理解一元二次方程及其相关概念。

四、过关检测

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（

）

A．3x12x1

C．ax2bxc0

2

1120

x2xD．x22xx21

B．

2．把一元二次方程23x2的根，得到（

）

A．23x2223x10的二次项系数化为正数，且不改变方程

223x10

C．23x23x10

3．方程x3x32x1

B．23x2D．23x223x10

23x10

x2的常数项是（

）

A．5

B．3

C．―3

D．0 4．若关于x的一元二次方程2ax23a2x5a20的常数项是二次项系数的2倍，则一次项系数为（

）

A．12

B．－12

C．0

D．以上都不对

5．若方程kx2x3x21是一元二次方程，则k的取值范围是___________.

6．关于x的方程m3xm7．已知关于x的方程mxm221x30为一元二次方程，则m=___________.

2m1x30是一元二次方程，则m___________.

8．某校办工厂在生产的某种产品，今年的产量为200件，计划通过改革技术，使今后的两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数. 这样，三年的总产量达到1400件，求这个百分数. 如果设这个百分数为x，根据题意列出方程为__________，化为一般形式为__________.

9．当m为何实数时，关于x的方程m29x2m3x2m0，（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？

10．已知3k1x22kx3是关于x的一元二次方程，求不等式解集.

k14k1≥1的32