2.2.1 直线的参数方程教学设计实例

直线的参数方程教学设计

教材内容解析

本节内容是人教A版选修4—4第二讲第三部分的内容．直线是学生最熟悉的几何图形，在教材《必修2》中学生已经学习了直线的五种方程.教科书先引导学生回顾了用倾斜角的正切表示的直线的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备，从代数变换的角度看，教材xx0+tcos,（t为参数）yy0+tsin.P35的直线参数方程就是点斜式的变形．在提出“如何建立直线的参数方程？”后，教材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程．这一过程，教师引导学生通过类比、联想的思想方法，将直线和单位方向向量联系起来，引入恰当的参数，从而建立直线的参数方程．

学情分析

学生对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性．而对事物的理解多以自己的经验为基础来建构或解释现象，而并不是把知识从外界直接搬到记忆中．高二学生的学习过程更是如此．

之前圆锥曲线的参数方程学生已经熟悉，也能够理解各种曲线的参数的几何意义，但是直线的参数方程还能否用角作为参数呢？这是完全不同的，应该选择那个量作为直线的参数呢?需要引入“方向向量的概念”，之前的必修教材从未学习过，所以，在讲本节课之前，提前对方向向量的知识作了补充学习，为本节课的学习提前进行知识储备．

教学方法与教学手段

教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生自主探究、合作解决）．

教学手段：多媒体辅助教学（利用计算机和实物投影辅助教学）．

教学目标

1．利用直线的单位方向向量推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系；

2．理解并掌握直线的参数方程中参数t的几何意义；

3．通过直线参数方程的探究，体会参数的形成过程，培养严密地思考和严谨推理的习惯；

4．在学习过程中渗透类比、归纳、推理的数学思想方法，以及引领学生体会“根据几何性质选取恰当的参数，建立参数方程”的几何问题代数化的解析思想．

教学重点

1．分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程；

2．直线的参数方程中参数t的几何意义．

教学难点

1．直线的参数方程中参数t的几何意义；

2．直线参数方程中参数t的几何意义的初步应用．

教学过程

一．参数t的几何意义

探究直线l的参数方程中参数t的几何意义是什么？

（cos，sin）因为单位方向向量e，所以e1，又因为M0M=te，

所以M0M=te=te=t

于是得到参数t的几何意义：直线l上的动点M到定点M0的距离，等于参数t的绝对值．

探究．参数t的符号又有什么意义呢？

当0时，sin0，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上的．

yy0yy00yy0，（1）若t0，由t=可知点M在点M0上方，则M0Msin的方向向上；

（2）若t0，由t=的方向向下；

（3）若t0，则yy0，从而点M点M0重合．

【设计意图】

引导学生思考讨论后获取共识，直线的参数t具有两点意义：符号决定了动点相对于定点的位置，绝对值表示动点到定点的距离．为后面参数的应用做铺垫．

例题讲解：

例1：已知直线l经过点P1,1，倾斜角为

（1）写出直线l的参数方程

（2）设l与圆xy4相交于A,B两点，求点P到A,B两点的距离之积；

（3）求直线l被圆xy4所截得的弦长

例题小结：数轴上任意两点x1，x2之间的距离是x1x2=(x1+x2)4x1x2，直线上任意两点间的距离刚好等于A，B两点对应的参数之差的绝对值2yy0yy00yy0，可知点M在点M0下方，则M0Msin6

2222AB1t2t(2+1t)2t4

1t2t

变式训练：

2x＝－4＋t，2已知曲线C：2y＝t21

x＝－2＋cos θ，(t为参数)，C2：y＝1＋sin θ

(θ为参数)（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|.

2x6t2例2：在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为t为参数，现以坐标原点为y2t2极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐表系，曲线C的极坐标方程为6cos. （1）求直线l和曲线C的普通方程；

（2）求过点M1,0且与直线l平行的直线l1交曲线C交于A,B两点，求|AB|及|MA||MB|.

问题1．如果直线水平放置，那么直线上的定点和动点的关系可以和我们学过的那个知识联系起来？

【设计意图】

回顾数轴概念，理解数轴上的任意一点对应一个实数，点的坐标的绝对值刚好是对应的点到原点的距离．

问题2．数轴是怎样建立的？数轴上任意一点的坐标的几何意义是什么？

规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴。

已知数轴上两点A，B的坐标分别为xA，xB，则线段AB的中点坐标为A，B两点间的距离为ABxAxB．

xA+xB，2类似地，有向直线类似于x轴，则A，B两点间的距离为ABtAtB，线段AB的中点对应的参数为【设计意图】

tA+tB．

2

教材中在有向直线上确定两点间的距离，以及两点对应的参数，有些同学不能立刻理解，而用数轴上两点间的距离以及线段中点的坐标来类比，就可以帮助学生很好的理解，这里类比思维起到了重要作用．

例3．已知直线l过点M(1,2)，斜率为1，且与抛物线yx2交于A，B两点．求线段AB中点Q的坐标．

解：由变式2的解法2可知，AB中点Q对应的参数t=t1+t22，

2221x1t,1322所以即Q(,)

22y22t3.22【设计意图】

这是教材中的一道例题，做了适当的改动，变成两个问题求解，这样安排便于学生更容易熟悉直线的参数方程，其次在变式2中，设计了三种方法求解，第一种刚好就是课题引入前的引例让学生在自主解答的过程中去感受和体会引入参数的优越性，解析法容易想，但是不容易算，参数法的引入就使问题的计算趋于简单化，这也是引入参数方程的目的所在．

练习：经过点M(2,1)作直线l，交椭圆xAB的中点，求直线l的方程．解：解法一：点差法

y2+1于A，B两点．如果点M恰好为线段1642

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由题意可知

x1x24,

yy2.12又因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在椭圆上，则有

x12y12+1x12x22y12y22y1y21164+0

22164xx212x2+y21416

1因此，直线l的方程为yx2．

2解法二：参数法

设过点M(2,1)的直线l的参数方程为

x2tcos,，将其代入椭圆方程整理得

（t为参数）y1tsin,(3sin21)t24(cos2sin)t80

所以 t1t24(cos2sin)．

3sin21t1t20，即

2 因为点M(2,1)为线段AB的中点，所以s2sin

co1 于是直线l的斜率为ktan．

21因此，直线l的方程为yx2．

2【设计意图】

这是教材P37的例2，学生可能直接应用“点差法”进行求解，但是引入直线的参数方程后，直线的斜率可以应用参数的几何意义计算，这样可以是问题的解决更加简单方便．再次感受直线参数方程参数的方便性．

方法总结：利用直线l的参数方程xx0tcos

（t为参数），给研究直线与圆锥曲线C：yytsin0F(x,y)=0的位置关系提供了简便的方法.

一般地，把l的参数方程代入圆锥曲线C：F(x,y)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，f(t)=0, 1、(1)当Δ<0时，l与C相离；(2) 当Δ＝0时，l与C相切；(3) 当Δ>0时，

l与C相交有两个交点；

2、

当Δ>0时，方程f(t)=0的两个根分别记为t1、t2，把t1、t2分别代入l的参数方程即可求的l与C的两个交点A和B的坐标. 3、

定点P0(x0,y0)是弦AB中点

t1+t2=0 4、

l被C截得的弦AB的长|AB|＝|t1－t2|；|P0A|·|P0B|= |t1·t2|；弦AB中点M点对应的参数为t1t2t1t2；| P0M|=

22基础知识测试：

1.直线x1t22(t为参数)与椭圆x2y8交于A、B两点，则|AB|等于( )

y2

t

A 22 B 2.直线436 C 2 D

33xx0tcos

（t为参数）与二次曲线A、B两点，则|AB|等于( ) yytsin0 A |t1+t2| B |t1|＋|t2| C |t1－t2| D t1t22

1x2t2(t为参数)与圆x2y21有两个交点A、B，若P点的坐

3.直线1y1

t2 标为(2,-1),则|PA|·|PB|=

74.过点P(6, 7)的直线(t为参数)与抛物线y2=2x相交于A、B两点，

2y

t2则点P到A,B距离之积为

.

5.已知直线l过点P（2，0），斜率为4，直线l和抛物线y22x相交于A、B两点，

3

设线段AB的中点为M,求：

(1)P、M两点间的距离|PM|； y B (2)M点的坐标； (3)线段AB的长|AB|

0 A M P (2,0) x62tx