5　不确定性关系教案设计范例

17.5 不确定关系

【学习目标】

1．了解不确定关系的概念和相关计算．

2．了解物理模型与物理现象

【学习重点】

不确定关系的概念

【学习难点】

对不确定关系的定量应用

【方法指导】

教师启发、引导，学生讨论、交流。

1、

通过对单缝衍射实验的分析，你怎样理解微观粒子的不确定性关系？

2、如果单缝变窄，两个不确定量各有什么变化？

3、写出不确定关系的表达式。说明式中各量的物理意义。

3、我们能否确定单个粒子的运动情况？例如位置、动量、轨迹。

我们能否对大量粒子的运动规律进行预言？

4、对宏观世界我们建立什么样的物理模型？对微观世界我们建立什么样的物理模型？

1．德布罗意波的统计解释

1926年，德国物理学玻恩

（Born

，

1882--1972）

提出了概率波，认为个别微观粒子在何处出现有一定的偶然性，但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律。

展示演示文稿资料：玻恩

点评：应用物理学家的历史资料，不仅有真实感，增强了说服力，同时也能对学生进行发放教育，有利于培养学生的科学态度和科学精神，激发学生的探索精神。

2．经典波动与德布罗意波（物质波）的区别

讲述：经典的波动（如机械波、电磁波等）是可以测出的、实际存在于空间的一种波动。而德布罗意波（物质波）是一种概率波。简单的说，是为了描述微观粒子的波动性而引入的一种方法。

3．不确定度关系

经典力学：运动物体有完全确定的位置、动量、能量等。

1

微观粒子：位置、动量等具有不确定量（概率）。

电子衍射中的不确定度：

如图所示，一束电子以速度

v 沿

oy 轴射向狭缝。

电子在中央主极大区域出现的几率最大。

讲述：在经典力学中，粒子（质点）的运动状态用位置坐标和动量来描述，而且这两个量都可以同时准确地予以测定。然而，对于具有二象性的微观粒子来说，是否也能用确定的坐标和确定的动量来描述呢？

下面我们以电子通过单缝衍射为例来进行讨论。设有一束电子沿oy轴射向屏AB上缝宽为a的狭缝，于是，在照相底片CD上，可以观察到如下图所示的衍射图样。如果我们仍用坐标x和动量p来描述这一电子的运动状态，那么，我们不禁要问：一个电子通过狭缝的瞬时，它是从缝上哪一点通过的呢?也就是说，电子通过狭缝的瞬时，其坐标x为多少?显然，这一问题，我们无法准确地回答，因为此时该电子究竟在缝上哪一点通过是无法确定的，即我们不能准确地确定该电子通过狭缝时的坐标。研究表明：对于第一衍射极小，sin1a

式中为电子的德布罗意波长。电子的位置和动量分别用x和p来表示。电子通过狭缝的瞬间，其位置在

x

方向上的不确定量为xa

同一时刻，由于衍射效应，粒子的速度方向有了改变，缝越小，动量的分量

px变化越大。

分析计算可得：

xph

4式中h为普朗克常量。这就是著名的不确定性关系，简称不确定关系。上式表明：

①许多相同粒子在相同条件下实验，粒子在同一时刻并不处在同一位置。

②用单个粒子重复，粒子也不在同一位置出现。

4．微观粒子和宏观物体的特性对比

宏观物体

微观粒子

具有确定的坐标和动量，可用牛顿力学描述。

没有确定的坐标和动量，需用量子力学描述。

有连续可测的运动轨道，可追踪各个物体的运有概率分布特性，不可能分辨出各个粒子的轨动轨迹。

迹。

体系能量可以为任意的、连续变化的数值。

能量量子化

。

2

不确定度关系无实际意义

5．不确定关系的物理意义和微观本质

（1）物理意义：

遵循不确定度关系

微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量x越小，动量的不确定量px就越大，反之亦然。

（2）

微观本质：是微观粒子的波粒二象性及粒子空间分布遵从统计规律的必然结果。

不确定关系式表明：

①

微观粒子的坐标测得愈准确(x0) ，动量就愈不准确(px)

；

微观粒子的动量测得愈准确(px0) ，坐标就愈不准确(x)

。

但这里要注意，不确定关系不是说微观粒子的坐标测不准；也不是说微观粒子的动量测不准；更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准；而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准。

②

为什么微观粒子的坐标和动量不能同时测准?

这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同时具有确定量。这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。

由以上讨论可知，不确定关系是自然界的一条客观规律，不是测量技术和主观能力的问题。

③

不确定关系提供了一个判据：

当不确定关系施加的限制可以忽略时，则可以用经典理论来研究粒子的运动。

当不确定关系施加的限制不可以忽略时，那只能用量子力学理论来处理问题。

例1．一颗质量为10g 的子弹，具有200m·s-1的速率，若其动量的不确定范围为动量的0. 01%(这在宏观范围是十分精确的了)，则该子弹位置的不确定量范围为多大? 解：子弹的动量

pmv0.01200kgm/s2.0kgm/s

动量的不确定范围p0.01%p1.0102kgm/s2.010kgm/s

由不确定关系式xp44h，得子弹位置的不确定范围

4h6.631034xm2.61031m

44p43.142.010我们知道，原子核的数量级为10-m，所以，子弹位置的不确定范围是微不足道的。可见子弹15

3

的动量和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观物体来说没有实际意义。

例2．一电子具有200 m/s的速率，动量的不确定范围为动量的0.01%(这已经足够精确了)，则该电子的位置不确定范围有多大? 解 : 电子的动量为pmv9.11031200kgm/s1.81028kgm/s

动量的不确定范围p0.01%p1.01041.81028kgm/s1.81032kgm/s

由不确定关系式，得电子位置的不确定范围h6.6310343xm2.910m

324p43.141.810我们知道原子大小的数量级为10-10m，电子则更小。在这种情况下，电子位置的不确定范围比原子的大小还要大几亿倍，可见企图精确地确定电子的位置和动量已是没有实际意义。

【当堂检测】

课本45页问题与练习1—4 1、举例说明：在经典物理学中，我们可以同时确定物体的位置和动量。

2、举例说明：在微观物理学中，粒子的位置和动量具有不确定关系。牛顿运动定律还成立吗？

3、有人说："在微观物理学中，粒子出现的位置是无规律可循的。"你如何认为？

4、在光的单缝衍射实验中，狭缝变窄，光子动量的不确定量如何变化？

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