2.3.1 椭圆的参数方程教学设计第一课时

《椭圆的参数方程》教学设计

工作单位

学科

数学

内蒙古包头市第一中学

授课年级

高二年级

教师姓名

戎

雪

课时安排

一课时（40分钟）

教材名称：数学

选修4-4坐标系与参数方程

所用教材

第二章《参数方程》2.3《圆锥曲线的参数方程》2.3.1《椭圆的参数方程》

出版社：

人民教育出版社B版

运用触控一体机，PPT以及几何画板软件进行教学。亮点如下：

1.

以学生为主体，基于“教-学-评一致性”的原则进行教学设计，问题一至六，及练习一至三，紧扣教学目标进行设计，确保教学目标的可操作性和可检测性；

应用创新

2.

通过几何画板动态演示，突破本节难点，理解椭圆参数方程中参数的几何意义；

3.

教学设计中的问题一至问题六，均从学生角度出发，以学生为主体，让学生经历逐步思考，得出概念的过程；

4.

设计小组讨论环节，以更好地实现师生互动，以及生生互动。

本节为选修4-4第二讲《参数方程》第二节《圆锥曲线的参数方程》的第一课时《椭圆的参数方程》，本节在整章中起到承上启下的作用。在本节内容之前，《圆的参数方程》中已经涉及了如何利用三角变换，对圆的普通方程和参数方程进行互化。本节旨在巩固教材分析

这种方法。同时，椭圆的参数与圆的参数的几何意义有显著不同，需通过本节内容进行区分。经历本节的学习，可体会到利用椭圆的参数方程，将几何问题转化为三角问题进行求解的优越性。

本节授课班级是高二文科普通班，在学习本节内容之前，学生已经学习了《圆的参数方程》，本节也由此引入。由于是文科普通班，学生数学成绩较差，考虑学生整体接学情分析

受能力，选择基础的例题和练习题，本节旨在掌握利用三角变换，对椭圆的普通方程与参数方程进行互化；以及，利用椭圆的参数方程，将几何问题转化为三角问题进行求解；同时，将圆与椭圆的参数方程进行归纳整理，体会其中的内在联系。

1.知识与能力

（1）理解椭圆参数方程中参数的几何意义，与圆中参数进行区分；

（2）掌握利用三角变换，对椭圆的普通方程与参数方程进行互化；

（3）会利用椭圆的参数方程，将几何问题转化为三角问题进行求解。

2.过程与方法

通过复习圆的参数方程引入，回忆上一节利用三角变换推导圆的参数方程的方法，教学目标

运用具体实例过渡，由特殊到一般，写出椭圆的一个参数方程，体会由几何转化为代数的过程，体现了转化思想的应用。

3.情感态度与价值观

通过学习本节内容，能够进一步体会几何问题转化为代数问题的转化思想，并能在做题中熟练应用。

教学重点

掌握椭圆的普通方程与参数方程的互化

教学难点

1.

理解椭圆参数方程中参数的几何意义；

2.

利用椭圆的参数方程，将几何问题转化为三角问题进行求解。

1.在教学设计中，从圆的参数方程引入，并加入具体实例过渡，逐步得出椭圆的参数方程，这一过程符合学生的认知需求，并能体会类比与从特殊到一般的思想，选用练习题较易，旨在让学生掌握椭圆的普通方程与参数方程的互化，这一过程是为了突出本节课的重点。

2.讲解椭圆参数的几何意义，利用几何画板，动态演示，这个过程目的是突破难点，让学生理解椭圆参数的几何意义，以及与圆的参数之间的区别。

3.练习三中三角换元，让学生体会参数方程的优越性，利用椭圆的参数方程，将几何问题转化为三角问题进行求解，大大减少了计算量。

教法

学法

学生在本节课中，经历了思考探讨椭圆参数方程的推导过程，由学生自己思考总结出的方法一定比教师总结给出的方法更印象深刻，也从中体会了数学的转化与化归思想。其次，例题和练习题中包含很多易错点，在巩固方法的同时，注意易错点，对日后解题有很大的帮助。

教

学

过

程

及

内

容

教

学

过

程

及

内

容

一、温故知新

在选修4-4第二讲参数方程中的第一节曲线的参数方程中，学生已经学习了圆的参数方程，由此复习引入，重点复习如何由圆的普通方程推导出圆的参数方程的代数方法。



圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为：

xrcos,(为参数)

yrsin.

圆心在x0,y0，半径为r的圆的参数方程为：

xx0rcos,(为参数)

yy0rsin.二、讲授新课

x2y2=1的一个参数方程

问题一：类比圆的参数方程推导方式，你能否找到椭圆94呢？

【设计意图】运用具体事例进行过渡，通过复习引入中由圆的普通方程推导出圆的参数方程的代数方法，自然地想到运用三角变换改写椭圆的参数方程。

x3cos,解：参数方程：(为参数)y2sin.

教

学

过

程

及

内

容

教

学

过

程

及

内

容



问题二：你能否找到中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的一个参数方程呢？

【设计意图】由特殊到一般，由学生写出椭圆的一个参数方程。

x2y2xacos,普通方程：221(ab0)，参数方程：(为参数)

abybsin.

问题三：类比圆的参数方程中参数的几何意义，椭圆的参数方程中的几何意义是什么？

【设计意图】此处为本节难点，通过几何画板的动态演示突破难点，得出结论，学生理解并区分椭圆的参数与圆的参数的几何意义。

圆的参数方程中，参数是半径OM的旋转角；

椭圆的参数方程中，参数是点M所对应的半径OA(或OB)的旋转角，称为点M的离心角，不是OM的旋转角。通常规定，[0,2)。



问题四：请你尝试类比推广，中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆的一个参数方程是什么？

【设计意图】通过类比，由学生得出焦点在y轴上的椭圆的一个参数方程。

y2x2xbcos,普通方程：221(ab0)，参数方程：(为参数)

abyasin.

问题五：观察以下三个参数方程，你能发现它们的异同吗？

xrcos,xacos,xbcos,(为参数)(为参数)(为参数)yrsin.ybsin.yasin.

【设计意图】是问题六的过渡，将所学知识进行整合，找出异同，得出规律。

相同点：均为三角变换；不同点：cos与sin的系数不同。

x2y2

问题六：对于普通方程为221(m0,n0)的曲线：

mn（1）请你写出它的一个参数方程。

（2）它表示的曲线类型有哪些？

（3）分别在何时表示（2）中的曲线？

【设计意图】学生进行小组讨论，自身经历思考过程，归纳概括，得出规律。

xmcos,(为参数)（1）参数方程为ynsin.

（2）椭圆、圆

（3）当mn时，表示椭圆，当mn时，表示圆

归纳总结：

xmcos,x2y2普通方程为221(m0,n0)的曲线参数方程为(为参数)mnynsin.1.

当mn时，表示圆心在原点，半径为m圆；

2.

当mn时，表示椭圆：

（1）当mn时，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；

（2）当mn时，表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆. 

练习一

把下列普通方程化为参数方程：

x2y2x2y21（2）1（3）3x2y29（4）2x23y212

（1）251634【设计意图】突出本节重点，检测教学目标中“掌握利用三角变换，对椭圆的普通方程与参数方程进行互化”是否达成。

x5cos,x3cos,(为参数)(为参数)（1）解：（2）解：y4sin.y2sin.

x3cos,x6cos,(为参数)（4）解：(为参数)

（3）解：y3sin.y2sin.

练习二：

把下列参数方程化为不同方程：

x3cos,xcos,(为参数)（2）(为参数)（1）y2sin.y3sin.

x3cos,x2cos,(为参数)（3）(为参数)（4）y3sin.ysin.

【设计意图】突出本节重点，检测教学目标“掌握利用三角变换，对椭圆的普通方程与参数方程进行互化”是否达成。

2x2y2y2x22221

x1y1

xy9

（1）解：9（2）解：（3）解：2（4）解：49

练习三：

若Px,y是椭圆2x3y12上的一个动点，求2xy的最大值. 22【设计意图】突破难点“利用椭圆的参数方程，将几何问题转化为三角问题进行求解”，也是本节内容的升华，体会参数方程的优越性。

x6cos,【思考】椭圆的参数方程为(为参数)y2sin.

解：设P(6cos,2sin)，

4sin()2xy26cos2sin23cos2sin 3

又4sin()[4,4]，2xy的最大值是4

3三、课堂总结

回顾本节两块重点内容，椭圆的参数方程以及利用椭圆参数方程，学会把几何问题转化为三角问题。

1.在信息技术的融合上，恰到好处地使用了几何画板软件，通过动态演示，突破教学难点，理解椭圆参数方程中参数的几何意义。

2.本节内容基于“教-学-评一致性”进行设计，问题一至六层层递进，让学生经历思考过程，逐步进行归纳总结，找出规律。在授课过程中，学生的思路有时会偏离我的预期，如在问题五的回答中，学生直接找出了圆的参数方程与椭圆参数方程中的内在联系，虽然不符合问题设计的预期，但事实上，是一种超越，我在课堂中给予了学生肯定。本堂课不是我的表演课，而是以学生为主体的课堂，全班学生存在个体的差异性，要对他们的优思优解进行肯定，让课堂成为他们发挥自己的舞台，集思广益，让思维的火花在课堂中碰撞出来。

3.本节课的授课方式多样，如在归纳总结规律时，设计小组讨论环节，更好地实现生生互动，体现以学生为主体。

4.本节设置的练习一至三，均以检测教学目标是否达成为目的，确保本节的内容均为有的放矢。在课堂反馈中，练习题学生完成情况很好，可见，本堂课基本完成了教学目标，是一堂较为成功的课。

教学反思