*5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计和教学实录

21.2.5 一元二次方程根与系数的关系

西华县聂堆中学：毕江华 【教学设计总意图】：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但在中考中体现，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用. 本册教材又将曾一度删去的内容恢复，可见根系关系的重要.它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一课时，让学生体会公式基本内容，在头脑中形成积极印象很关键. 所以从绝大多数同学掌2 握的知识程度出发，针对本班学生的特点，本课在(a≠0 , b–4ac≥0)的前提条件下设计，所有的一元二次方程均有解.

教学目标：1、理解根系关系的推导过程；

2、掌握不解方程，应用根系关系解题的方法；

3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路

教学重点：应用根系关系解决问题；

教学难点：根系关系的推导过程

教学流程：引入新知，推导新知，巩固新知，应用新知， 教学过程：

一、

前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话，内容如下：

郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？

董：什么秘密？

郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？

董：哦？

郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这2 么说吧：她的年龄啊是方程x– 12x +35 =0的两根的积，回去你把2根求出来就知道了. 董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，2 而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程x-35x -200=0的2根的和呢. 郑：哈哈，你太有才了。对了，咱们应该也让同学猜一

猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄.

【设计意图】创设一个情境：学生自我娱乐的同时自我探讨数学知识,本班学生活跃，他们自己在平时也会开一些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的兴趣.

二、

求出下列方程的2根，计算2根和与2根积的值，并猜想2根和、2根积与一元二次方程各项系数之间的关系

序一元二次方x1

x2

x1+x2

x1x2

号

程

2 x– 5x +6 （1）

2 3 5 6 =0 2 312x– 3x +1 1

（2）

222=0 1 212

2 （3）

3x+ x -2 =0 - - 333- 1

【设计意图】二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想2根和、2根积与系数之间的关系. 三、

引导学生独立证明：

2 2 x1和x2

是一元二次方程 ax+bx +c =0 (a≠0 , b–4ac≥0) bc x1+x2 = - , x1x2 = 注意：负号不能漏写

aa【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出x1和x2的值，接下来将字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式 x1+x2

和x1x2

得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程.还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀.

四、

应用

第一组习题：不解方程，求下列方程的2根和与2根积

2 （1）

x– 3x +1 =0 2 （2）

3x– 2x - 2=0 2 （3）

2x–3x =0 2 （4）

3x =1 【设计意图】新知产生后，直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，这时需要强化记忆，除设计第1组习题外还设计板书例题和第2组习题.第一组习题小评时，可引导学生发现应用根系关系解决2根和与2根积的问题不需求出复杂的2根，同时渗透着整体代入的数学方法，为例2巩固知识奠定基础.

例2：已知：

2 x1和x2

是一元二次方程x-4x +1=0的2根, 求下列代数式的值

11（1） + x1x22 2 （2）x1+ x2

2 （3）（x1- x2）

x2x1学生练习：（1） + x1x2 （2）（x1+1）（x2+1）

【设计意图】

本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法 . 五、

本课小结：

六、

课后作业：课本16页练习

21.2.5 一元二次方程根与系数的关系

西华县聂堆中学：毕江华