*5 一元二次方程的根与系数的关系优秀教学设计内容

一元二次方程根与系数的关系教学设计

芦溪县长丰乡学校：邓君

教学目标：

（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。

教学重点：根与系数关系及运用

教学难点：定理的发现及运用。

教学过程：

一、

创设情境，激发探究欲望

我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：

抛出的重物总会落下------------------万有引力定律（牛顿）

电路中的电流、电压、电阻存在一定关系：U=-------------------欧姆定律（欧姆）

而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如：

a2+b2=c2--------------------勾股定理直角三角形的三边a,b,c满足关系：IR

（毕达哥拉斯）

那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天共同去探究，感受一次当科学家的味道。

设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望。

二、

探究规律

1、先填空，再找规律：

一元二次方x1

程

x2-5x+6=0 x2+3x-10=0 x2

x1+x2

x1.x2

思考：观察表中x1+x2与x1.x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

①用语言叙述你发现的规律？

（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）

②x2+px+q=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律

（x1+x2=-p，x1.x2=q）

2、完成下列表格：

一元二次方x1

程

2x2-3x-2=0

x2

x1+x2

x1.x2

3x2-4x+1=0

问题：上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）

请完善规律：

①用语言叙述发现的规律？

（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比）

②ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，用式子表示你发现的规律

baca（x1+x2=-

，

x1.x2=）

设计意图:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。

三、

利用求根公式推导根与系数关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的两根为x1=

, x2=

,则x1+x2=

-

bc

x1. x2=

aa证明此处略（师生合作完成）

（教师提问：若b2-4ac<0呢,规律还存在吗？）

※※注意：一元二次方程根与系数关系应用的前提是b2-4ac≥0

设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。

四、

运用定理解决问题

例1.

不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积. （1）x2-3x-1=0

(2) 2x2+3x-5=0 (3)x2=4

(4)2x2=3x

(5)x2-(k+1)x+2k-1=0(x是未知数，k是常数) 设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。

例2.已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3，求另一个根及k值。

设计意图：本题既可以用以前所学的知识进行求解，也可用本节课所学的知识进行求解，可以体会一题多解。

例3.若一元二次方程x2-3 x-5=0的两根是x1、x2，求下列各式的值：

（1）11+

（2）x12+x22

x1x2设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。

例4.若一元二次方程x2+ax+2=0的两根满足：x12+x22=12，求a的值。

设计意图：它是例3的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于2等。

例5.写出一个以和-3为根的一元二次方程

设计意图：进一步巩固根与系数的关系，同时培养学生的逆向思维。

五、课堂练习、反馈

Ppt展示内容

设计意图：针对例题进行变式训练，目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，同时便于发现学生还存在哪些困惑予以及时解决。

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六、课堂小结：

让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。

五、

课堂板书

一元二次方程根与系数关系

典例分析

一元二次方程一般形式

例1

例2

根与系数关系应用的前提

例3

例4

根与系数的关系

例5

六、

教后反思

巩固练习

1

2 3

4 5

6