校园中的测量教学设计及课堂实录

三角形的拼接

教学过程:

一、直接导入

师:今天,我要给大家上一堂数学课。题目是:三角形的拼接。你以前有没有上过这样的课?没有。额,那你觉得三角形的拼接我们可以研究什么问题呢?你说。生1:多少个、多少个三角形可以拼成一个大三角形。

师:还有呢?来,男同学。

生2:多少个……

师:话筒。

生2:多少个三角形拼在一起有几条边。

师:几条边,几个点。一个三角形有几条边,几个点?

生:3条边。

师:3条边,3个点,没问题。诶,看一下,蒋老师给大家带来的……自己读题目。

生:20 个三角形拼接,有30个点,有几条边?

生:我不知道。

师:我也不知道。那你来猜一猜,它有几条边。男同学。

生1:我猜有60条边。

师:60条边,为什么?你来说一说吧。

生1:因为一个三角形有3条边,3X20=60.

师:最多60条。你说。

生2:它应该有59条。

师:59条?为什么?

生2:它因为排成一行的话,它就是要减一条,有一条公共边,然后要减去一条。师:你的意思是,就是,不可能是60条,肯定比它少,是这个意思吧?那你们觉得,边多一些还是点多一些啊?来,那同学。

生1:点多,因为那些三角形拼在一起,公共边是算一条的。

师:你说。

生2:应该是点多,因为如果两个三角形拼起来的话,那么它的边有5条,点就会比那个边多。

师:有没有觉得是边多的?

生:没有。

师:说真的,没去研究过,我还真不知道。那你想,如果要解决这么一个问题,你可以用哪些方法?来,你说。

生1:用最笨的方法,把所有都画出来,再数一数。

师:(板书“画”)画一画是吧,他说这种方法是最笨的。为什么是最笨的?

生1:因为这里是30个三角形,是20个三角形,画起来还是很费劲的。

师:很费劲。女同学。

生2:如果你把20个改成100个、1000个,你画都画不了。

师:对呀,还有么有其他方法?

生3:我认为应该是先去研究研究,然后再来算。

师:额,你说,你怎么说?

生4:先把它那个1个三角形有几条边,2个三角形有几条边,然后找规律找出来。

师:你们同意她的想法吗?同意吗?

生:同意。

二、2个三角形拼接

师:是的。当我们碰到20个,刚才那位同学1000个怎么办呢?这么麻烦的题目碰到的时候,我们可以借用、运用刚才那位女同学的方法,从简单入手。我们可以先,进行2个三角形

的拼接。2个三角形拼接,你会拼吗?

生:会。

师:会的来,噢,你来。你来拼一遍,上来拼。来,拼这里。看好哦,他怎么拼?你怎么拼?

生:我是把一个三角形正着放,一个三角形倒着放。

师:大家看一下,他是把三角形的什么和什么拼在一起?一起说。

生:两条边。

师:两条边,拼接在一起。还有不一样的拼法吗?那个男同学。来,给你,不一样的拼法。在这里。怎么样?不一样,你这不就是……

生:一样的。

师:一样的。我要不一样的。来,男同学,你来,看有没有不一样的。没想好就上台拼。噢,我明白了,你的意思是这样,这样的,这也是不一样,还有不一样的吗?来,男同学,我今天最喜欢男的了,(什么什么)特别多。他是用三角形的……?

生:点和点。

师:对,这种是点的拼接,是不是?你还有不一样的?可以,可以,还有不一样的,来,这位戴眼镜的女孩子,是不一样的吧?点和边拼接。孩子们,我们有拿出4种拼法,这两种拼法情况比较复杂,我们这节课不研究。我们就研究两种,一种……

生:点的拼接。

师:另一种……

生:边的拼接。

师:看清楚了吗?那这两种,我们先看看,第一个图形,它有几条边,几个点?赶快,数一下。

生:1,2,3,4,5……

师:(粘贴表格)数好了吗?来,一起来数一下。

生:1条,2条,3条,4条,5条,6条。

师:几条边?

生:6条。

师:6条边。几个点?

生:1,2,3,4,5。5个点。

师:为什么只有5个点啊?来,你。

生:因为它这里有2个点是接在一点,接在一起,也就等于重合了。

师:重合了,发现了吧?对,这就是点的拼接。再看,第二个图,数一下,几条边?

生:1,2,3,4,5。5条。

师:几条?

生:5条。

师:5条边,为什么只有5条边呢?太简单了,最后一位男同学,话筒。

生:因为2条边重叠了。

师:因为有2条边重合了。很好。几个点?数一下。

生:4个点。

师:一下子就数出来了。来,看到黑板上,看到黑板上,观察一下这两组数据,你有什么发现?来,那边那位男同学。

生1:边数都是比点数多1。

师:你听清楚他的意思了没有?他的话你能重复一遍吗?他刚才说什么?你说。生2:边数比点数多1。

师:边数比点数多1。来,请那位同学再继续,讲的详细一点、具体一点,。具体地说一说。第一组数据。

生1:第一组数据,边是有6条,点是有5个。

师:边数……

生1:第二组是5条边,4个点。

师:边数减去点数就是1。你有话说吗?

生3:我发现是边数比点数多1。然后看那个点的拼接就是这3个三、这2个三角形的三条边没有一条是这样贴起来的,而有一个点是这样,两个贴合的。

师:明白她的意思吗?她的意思是说,拼接的方法不一样,产生的数据也就不一样,对于这个发现,大家有没有异议?有没有异议?有没有不同意见?没有吧?生4:还有其他.

师:还有其他发现?好,你说。噢,你说。

生4:2个三角形拼接,周长是点的拼接大,但是面积是一样的。

师:噢,周长和面积,我们这节课研究就不研究,我们只研究它有几条边,边数,几个点,点数。你说。

生5:它们都是2、它们只有2个三角形,而数据却是不一样的。

三、3个三角形拼接

师:它们都是2个三角形,那你想一想,如果我们3个三角形拼接的话,边数和点数还会像你们发现这样子吗?你说。摇摇头是什么意思啊?

生1:我猜一猜。应该、它应该和前面差不多,边数比点数多1。

师:她猜,边数比点数多1。好,你有其他猜法。

生2:我猜边数比点数多2。

师:你猜边数比点数多2。你的猜法跟刚才那位女同学的不一样。这样好了,这个呢是你们的什么啊,猜测,你们要怎么样?

生:验证。

师:要进行验证。来,老师有验证要求,你们看一下噢。一,按照黑板上的两种拼接方法,哪两种拼接方法?点的拼接和边的拼接,把3个三角形的拼接图画在表格中,看一下这个表格,就是画在第一栏。第二,正确数出,别急,正确数出边数和点数,正确数出要求噢,你觉得怎样才能正确数出啊?男同学,你说。生:要、首先要数好边数和点数,然后再验证一遍,是否数错了。

师:多数几遍。好的,最好是按顺序数,不产生遗漏。在你们抽屉里有一张研究材料,大家可以把它拿出来。然后把你的名字写上去。写好了吗?赶快。接下来,我们可以按照蒋老师的要求来画出三角形的拼接图,把这个表格完成,开始。(生画,师巡视)

师:你可以用尺子,也可以不用尺子,你随手画也可以,只要画清楚就可以了,

人家看的明白。

师:有些同学已经研究出一组数据了。可是我发现有些同学研究了两组,甚至还有更多的,你抓紧,研究好的你可以继续研究。我不知道。研究好的举手。好,停。来,请几个同学上台来,展示一下,谁愿意?好,你来。诶,其他同学先看她噢。来,你上来。来,开始。你也愿意上来,好,来。看得清楚吗?看得清楚吗?来,你来介绍一下。

生1:就是点对的有、点对的有7个点数,有9个边数。

师:边数是9,点数是?

生1:7。

师:第二种。

生1:第二种是边对的,边对的边数是7条边,点数是5个点。

师:你们的数据,有没有跟她一样的?有没有跟她不一样的?有没有不一样的?数据有没有不一样的?还有没有补充?来,你还有。来,你补充一下,你说来吧。噢,你这个很好,很好,你的呢?好,行。你们两个在这里稍微等一下,你们两个在这里稍微等一下。很好,你们都研究出了两种数据,是不是啊?这两种数据大家有没有、有没有想法?没有哦?可以,老师我的ppt上也做,我们来看一下。蒋老师的ppt上,9条边,7个点,你们有吗?

生:有。

师:给大家看一下,你们是不是这样拼的,也可能是这样拼的,还有可能是这样拼的吧?甚至还有这样拼的啊?大家想一想,为什么形状不一样,但是得出的数据都是边数9,点数7。来,那位男同学,你说。

生1:因为它都是点点重合,没有边重合。

师:听明白他的意思了吗?听明白了吗?你想重复一下,那你说。

生2:它都是同个地方,它都是两个点重合,那它肯定边数和点数肯定是同样多的。

师:明白他的意思了没有?这一组数据,它的拼接方法都是点的拼接,再看,老师还有第二种方法。这你们也有吧,你们是这样拼的,是不是啊?这种是,什么和什么拼接?

生:边和边。

师:边和边拼接。有没有第三种?你还有第三种?哦,画的不一样,形状不一样,但是是不是都是边的拼接?是不是啊?好的,有没有数据不一样?还有一种,你说。你报给我就可以了,把数据报给我。

生:8条边和6个点。

师:他还研究出8条边和6个点的。来,我这里也有,你看一下啊,跟你是不是很像?是不是这样拼的?你可能也、还有这样的拼法。那这一种是,既有点的拼接。

生:也有边的拼接。

师:也有边的拼接。很好。这三组,那你们想不想看看,刚才这两位同学站在台上的,他们的作品?

生:想。

师:来,看一下噢,真好,我就喜欢不一样的。啊,你先吧,不用客气,你先上来就你先。没事。看一下,我把它调一下。来,看一下。这种没问题,这种,你有什么想说的?

生:前两个,也就是上面那两个,是上面那个三角形的点和下面那个三角形的边

拼接的,而下面两个才是点和点拼接的,所以下面那两个才符合条件。

师:那你觉得他的拼接方法符合蒋老师的要求吗?

生:不符合。

师:唉,不符合要求,所以你的数据也就出现了错误,来,下次知道了噢。好,换一个。你想说的是哪个?

生:这个,最后一个。

师:最后一个,你说。

生:因为它有9条边,边数比点数多1的话,那点数是6,相差3了呀。

师:对呀,相差3了呀,他一定是用3个三角形拼的他说。

生:4个。

师:那我们刚才研究的是几个?

生:3个。

师:3个。好,再来看一下这组数据,边数,点数,你们刚才的猜测,有没有得到验证?

生:有。

师:什么验证?

生1:嗯,就是,边数比点数多2。

师:你说。

生2:是边数比点数是多1还是多2。

师:结果呢?

生2:多2。

师:边数比点数多2。我们的猜测完全正确。你的猜测错了。现在你有想说的吗?生:我以后不猜了。

师:以后不猜了?不行,咱们还要猜。你觉得我现在会让你们猜几个三角形的拼接?

生:4个。

师:对,4个。

四、4个三角形拼接

师:猜测一下,4个三角形的拼接,你会拿出什么结论?

生1:边数比点数多3。

生2:就是边数会比点数多3。

生3:边数会比点数多3。

师:你们都是这么猜的吗?边数比点数会多3?不过呀,在我们的验证过程,我又有新的要求,你看一下噢。这下是我要求同桌两个人合作探究,至少画出两种不同的拼接图,得到两组数据然后同桌两个人讨论一下,你们的猜测是否成立。现在,开始。

(生画,师巡视)

师:同桌两个人。很好,他们两个人分工很明确,一个画一个数。你也很聪明,知道在3个三角形的基础上再拼一下就好了。两组数据,赶快拿出来。好的同学举手,两组数据你都得出来了。对,两组就可以了。如果有更多的你也可以想研究的话还可以再研究、再去研究一下。好,来,停下来,汇报一下数据噢。4个三角形拼接的时候,来,哪些数据你研究出来了,额,男同学你来,对,拿给我,边数几?点数几?

生1:边数8。

师:点数?

生1:点数是5。

师:还有吗?

生1:还有。额,边数、边数12。

师:点数?

生1:点数9。

师:还有吗?有没有跟他不一样的?来,你们组,你来。

生2:边数9,点数6。

师:还有吗?好,边数8也有,12也有,9也有。边数10的有没有?边数10的,眼镜。

生3:边数是10,点数是7。

师:好像,8,9,10,11,边数11的有没有?哦,你有,你说。

生4:边数是11,点数是8。

师:边数是11,点数是8。好,还有,你还有意见。来,你研究出来。

生5:边数是12,点数是8。

师:边数是12,点数是8。好的,是不是4还不知道呢。来,看一下,这两组数据,其中有一组数据肯定是有问题的。来,那位同学,把你的这个图,拿到上面来,给大家看一下。我们来看看噢,她为什么是12。是不是这最后一幅图啊?来,你来说,你的困惑。

生5:他们都说是边数比点数多3个,而我研究出来边数比点数多4个。

师:听清楚她的困惑了没有?如果她的这个数据是正确的话,那我们这猜测就不成立了,就完蛋了,那你说。

生6:她这个数据是错的。因为她4个三角形拼接了之后,中间明明没有三角形。师:他说你的数据是错的。你把边数和点数先数给他看一下。

生5:这里,1条,2条,3条,4条,5条,6条,7条,8条,9条,10条,11条,12条。

师:12条边。点数点数。

生5:1,2,3,4,5,6,7,8,对的。

师:对的。对的。你说,男同学你说。

生7:中间是空心的。

师:它中间是空心的是什么意思,空心是什么意思?来,你、你继续:。

生7:她说她点拼接,中间是空心的,没有连接在一起的。

师:我明白了,他的意思是,中间不是三角形的,如果我把中间的图形变成三角形的话,哦,画一下,我帮你画一下。这样可以吧?这样的话是变成几个三角形的拼接了?

生:6个。

师:6个三角形的拼接了。好,谢谢你,给大家提供了一个这么好的例子,差点我们的猜想就被她给推翻了,毁了。来,观察一下数据,你们的猜测怎么样?生:对了。

师:有问题吗?你想说。

生:但是前面那个算三个的时候,不是也有一个空心的吗?

师:那个是,就是这一组吧,应该是,就是这一组数据吧,这个也把里面那个三角形,吶,里面那个,就是这个,我知道,是这个意思吧?你的意思是到现在你那个意见还没有改回来?那你看,其实上这是几个三角形的拼接。

生:4个。

师:4个三角形拼接,其实跟这一组。

五、总结规律

师:好,同学们,三角形,2个三角形拼接,你们那个猜测,等会儿噢。2个三角形拼接,边数比点数多1。3个三角形拼接。

生:多2。

师:什么多2?

生:边数比点数。

师:边数比点数多2。3个三角形,4个三角形拼接呢?

生:边数比点数多3。

师:通过我们刚才这3组数据,3种三角形的拼接,那你们来想一想,三角形的个数和边数点数之间,它们会有什么关系呢?三角形个数与边数点数之间会有什么关系呢?来,你来说。

生1:好像是每多出1个三角形,边数就会比点数多出的数字多1。

师:多出的数字多1。

生1:就是三角形的个数减1就等于、就等于边数比点数多多少。

师:他的意思你们明白了吗?三角形的个数减1就等于边数比点数多的数,是这个意思吧?那你看一下,是不是这个公式啊?三角形个数-1=边数-点数。你们发现了这么一个伟大的规律。5个三角形拼接的时候会怎么样呢?你们觉得会是多4。6个三角形。

生:多5。

师:什么多5?

生:边数比点数多5。

师:那如果我说边数-点数=7的话,你觉得需要几个三角形拼接?

生:8个。

师:好像有点厉害噢。这样行不行,咱们再继续研究,这次研究又有新的任务,要求你们4个。前后桌4个小组,额,4个人合作。要求,先确定你要去拼接研究的个数。第二,你至少要画出一幅拼接图,提供一组数据。第三,讨论一下,你们的数据是不是符合你们刚才的发现?开始。

(生画,师巡视)

师:一组数据就可以了哦。可以。好的马上讨论一下,跟你的那个发现你去验证一下。好了吗?研究太多,数不清了。画不下你画旁边没事。好了没有?研究好了讨论一下,4个人看一下有没有符合条件。好,再给你们10秒钟。好,停。来,哪个小组先来汇报一下你们的,没数完的也停下来吧。来来来,把手上的活放下来。有些小组因为研究的个数太多,一下子数啊,有点难度。好,停下来吧,没事的,没研究好的下课以后等会可以再研究。来,眼睛眼睛,眼睛看前面。来,那个小组,你们来。

生1:我是研究边和边连接的10个三角形,点数是12个,边数是21个。

师:然后?继续,然后?

生1:然后两个相差9。

师:相差9,你是几个三角形拼接?

生1:10个。

师:符合我们的发现吗?

生:符合。

师:符合的,很好。除了他们这一组,还有没有?来,你们组。

生2:20个。

师:20个三角形。

生2:20个三角形,37条边,18个点。

师:20个三角形,几条边?

生2:37条。

师:37条边,几个点?

生2:18个点。

师:结果,结论,结论,符合吗?

生2:符合。

师:符合的,很好。你们研究出来有没有不符合这个规律的?

生:没有。

师:有没有?

生:没有。

师:没有。噢,这个规律是很伟大的,但是你们知道吗?这个规律啊,它存在的秘密,在哪里呢?想不想看一看?

生:想。

师:来,我们一起看。当我们在进行三角形拼接的时候,每多拼接1个三角形,边数和点数它会怎么变化。我们来看一下噢。我们说,可以点的拼接,这时候,边增加几条?边增加几条?

生:3条。

师:点增加几个?

生:2。

师:额,也可以是边的拼接。这时候,,边增加几条?

生:2。

师:点?1个。还可以两条边的拼接。这时候边增加、边增加1,点数呢?

生:0。

师:没有增加。那你们有什么发现没有?你说。

生1:每次边增加的加数。

师:边增加数。

生:边增加数减去点增加数都等于1。

师:是不是的?边增加数比点增加数始终是多1的。这就是为什么我们这个规律存在的原因。刚才有同学研究了20个三角形的拼接,那么,上课之前正好老师提的问题也是20个三角形,这个问题你能解决了吗?赶快。现在用的算的方法了吧?(板书:“算”)赶快,赶快算一算。轻轻地告诉我你的答案。算好的举手。告诉我答案,一起说。

生:49。

师:你看看,当我们发现规律的时候,我们再去计算,你是不是觉得很简单?生:对。

六、课堂小结

师:孩子们,今天这节课,你有什么收获?有什么想说的吗?来,戴眼镜的女孩子。用话筒。

生1:我觉得三角形很有趣,能拼成很多图形,然后里面包含很多数学的,就是数边和数点那些的。

师:嗯,还有吗?你说,我的话筒给你。

生2:嗯,就是1个三角形,在1个三角形的基础上,点的、2个三角形点和点的拼接,那个边数是加3,点数是加2。然后2个三角形边和边的拼接,边是加2,点是加1。然后3个三角形两条边,1个三角形和另外2个三角形两条边的拼接,边是加1,点是加0。

师:你把这个规律的奥秘都记在自己的脑海里了。还有其他想说的吗?

生3:下次我再也不用愁了。

师:那你如果下次再碰到这样的问题的时候,你应该先怎么样?

生3:找规律。

师:今天我们的规律是怎么找出来的?

生3:举例子。

师:举例子,举的2个三角形拼接,是吧?然后呢?

生:3个。

师:3个的时候我让你们进行了什么,猜测,然后进行了验证。只有通过验证,验证我们的猜测是准确的,我们才能够运用得到的规律来解决更多的问题。好,今天这堂课,我们就上到这里,下课。

生:老师,您辛苦了,再见。

师:谢谢同学们。

生:老师们辛苦了,再见。