2.2.1 直线的参数方程优质教案设计

直线的参数方程（教学设计）(2课时) 教学目标：

知识与技能：1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．

过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研

的科学精神、严谨的科学态度．

教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．

教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标x,y之间的联系．

教学过程：

一、复习回顾：

1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．

2.直线的方向向量的概念．

3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？

4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．

5.如何建立直线的参数方程？

二、师生互动，新课讲解

1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？

教师提问后，让学生思考并回答问题．

教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为t，那么：

①OA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OMtOA；②当OM与OA方向一致时（即OM的方向与数轴正方向一致时），t0；

当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时），t0；

当M与O重合时，t0；

③|OM|t． 【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．

2.类比分析，异曲同工

问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？

（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？

教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l上的定点M0为原点，与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0时)或向右（l的倾斜角为0时）的单位向量e确定直线l的正方向，同时在直线l上确定进行度量的单位长度，这时直线l就变成了数轴．于是，直线l上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．

【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．

3. 选好参数，柳暗花明

问题（1）：当点M在直线l上运动时，点M满足怎样的几何条件？

让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l当成数轴后，直线l上点M运动就等价于向量M0M变化，但无论向量怎样变化，都有M0Mte．因此点M在数轴上的坐标t决定了点M的位置，从而可以选择t作为参数来获取直线l的参数方程．

【设计意图】明确参数．

问题（2）：如何确定直线l的单位方向向量e？

教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．

教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出

e(cos,sin)，从而明确直线l的方向向量可以由倾斜角来确定．

当0时，sin0，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上．

【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．

4. 等价转化，深入探究

问题：如果点M0,M的坐标分别为(x0,y0)、(x,y)，怎样用参数t表示x,y？

教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：

因为e(cos,sin)，（0，MM,[)）xy(,)x(,y)x,yy0)00(0x，

0又M0M//e，所以存在实数tR，使得M0Mte，即

(xx0,yy0)t(cos,sin)．

于是xx0tcos，yy0tsin，

即xx0tcos，yy0tsin．

因此，经过定点M(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程为

xx0tcos  （t为参数）． yytsin0教师提出如下问题让学生加强认识：

①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数t的取值范围是什么？

③参数t的几何意义是什么？

总结如下：①x0,y0，是常量，x,y,t是变量；

②tR；

③由于|e|1，且M0Mte，得到M0Mt，因此t表示直线上的动点M到定点M0的距离．当M0M的方向与数轴（直线）正方向相同时，t0；当M0M的方向与数轴（直线）正方向相反时，t0；当t0时，点M与点M0重合．

【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．

三、运用知识，培养能力

五、分层作业：

1、（课本P39习题 2.3 NO:1）

2、（课本P39习题 2.3 NO:2）