2.2.1 直线的参数方程教学设计及教案分析

直线的参数方程(第一课时) 石家庄市第十八中学 高中数学梁志芳

教学目标：

1. 联系向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．

3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研

的科学精神、严谨的科学态度．

学习重点：参数t的含义，直线单位方向向量e(cos,sin)的含义。

学习难点：如何引入参数t，理解和写直线单位方向向量e(cos,sin)

学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引,深刻领会数学方法,认真思考、独立规范作答。

学习过程: 问题1已知一条直线过点M0(x0,y0),倾斜角,求这条直线方程。

问题2在直线l上，任取一个点M(x,y)，求M0M坐标。

直线l上点M运动就等价于向量M0M变化，但无论向量怎样变化，都有M0Mte．因此点M在数轴上的坐标t决定了点M的位置，从而可以选择t作为参数来获取直线l的参数方程．

【设计意图】明确参数．

问题3试用直线l的倾斜角表示直线l的方向单位向量e。

教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．

教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出e(cos,sin)，从而明确直线l的方向向量可以由倾斜角来确定．

当0时，sin0，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上．

【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．

问题4设M0Mt，则e与M0M具有什么位置关系？用t能否表示出这种关系。

问题5通过坐标运算，用M0(x0,y0)，，t把在直线l上，任取一点M(x,y)的坐标表示出来。

即过定点M(x0,y0)倾斜角为的直线的参数方程：

教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：

因为e(cos,sin)，（,，MM0[)）xy(,)x(y,)0(0xxy,y0)00，

又M0M//e，所以存在实数tR，使得M0Mte，即

(xx0,yy0)t(cos,sin)．

于是xx0tcos，yy0tsin，

即xx0tcos，yy0tsin．

因此，经过定点M(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程为

xx0tcos  （t为参数）． yytsin0教师提出如下问题让学生加强认识：

①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

②参数t的取值范围是什么？

③参数t的几何意义是什么？

总结如下：①x0,y0，是常量，x,y,t是变量；

②tR；

③由于|e|1，且M0Mte，得到M0Mt，因此t表示直线上的动点M到定点M0的距离．当M0M的方向与数轴（直线）正方向相同时，t0；当M0M的方向与数轴（直线）正方向相反时，t0；当t0时，点M与点M0重

合．

【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．

做一做1

(1)经过点M0(1,5),倾斜角是的直线l的参数方程为

;

-

(2)若直线的参数方程为

(t为参数),则其倾斜角等于

.

解析：(1)参数方程为

(t为参数),

(t为参数).

即

(2)直线的参数方程可化为

故倾斜角等于50

.

(t为参数),则它的斜截式方程做一做2

若直线的参数方程为

-

(t为参数),

为

.

解析：消去参数t可得y=3+

(x-2), 化为斜截式方程为y=

x+3-2

.

来源

三、运用知识，培养能力

例1.已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积．

先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：

xy10解法一：由，得x2x10(*)．

2yx设A(x1,y1)，B(x2,y2),由韦达定理得：x1x21，x1x21．

AB1k2(x1x2)24x1x22510．

1515，

，x2223535．

y1，y22215351535所以A(,)，B(,)．

2222由（*）解得x1则MAMB(115)2(235)2(115)2(235)2

2222

353542．

3解法二、因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，所以它的参数方程是

432x1tcosx1t42 （为参数） （t为参数）， 即．

t3y2tsiny22t42把它代入抛物线的方程，得t22t20，

解得t1210210，t2．

22由参数t的几何意义得：ABt1t210，

MAMBt1t22．

在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．

【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．

xx0tcos探究：直线  （t为参数）与曲线yf(x)交于M1,M2两点，yy0tsin对应的参数分别为t1,t2．

（1）曲线的弦M1M2的长是多少？

（2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？

先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：

tt（）1M1M2t1t2，

（2）t12

2【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．

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