5.5 用二次函数解决问题教案公开课一等奖

第五章 5.5 用二次函数解决问题（1）

【教学目标】

感受用二次函数解决实际问题的整个过程，能根据实际问题中变量之间的关系确定二次函数的表达式，利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值。体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，在解决问题的过程中，感悟数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。

[设计意图]遵循课程标准的理念，注重生活与数学的联系，本节课将引导学生将实际问题数学化，引导学生感悟“模型思想”，探讨二次函数在生活实际中的运用。本节课为二次函数应用的第一课时，在学生已经掌握二次函数的相关知识的情况下，引导学生用数学的眼光观察研究日常生活中的一些现象，利用二次函数的模型解决面积最大、利润最大等问题。

【教学重难点】

重点：通过建立二次函数的数学模型解决实际问题中的最大（小）值问题，

难点：将实际问题转化为二次函数的数学模型，并在实际问题给出的自变量取值范围内求最值。

[设计意图]本节课对学生的阅读能力有一定的要求，分析提炼实际问题中数量关系，建立哪些变量之间的函数关系更是从生活实际走进数学世界的难点。

【教学过程】

一、教学情境

前面我们已经学习了二次函数函数的图像与性质，数学来源于生活又服务于生活，在本章第一节课我们曾经引入过这么一个实际问题：“用长16m的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎么围可使小兔的活动范围较大”的问题。通过前一阶段的学习，你能解决这个问题了吗？

小兔的活动范围的大小就是长方形面积的大小，而长方形的面积是和长方形的长、宽的大小相关，此时长方形的长宽之和是8，设长方形的长为xm，则宽为（8-x）m，面积y(m2)与长x(m)之间的函数关系为y=x(8-x)=-x2+8x（0＜x＜8）.请学生进行解答，知道可以通过求上述所得的二次函数最大值来解决这个实际问题中的最大值。

我们可以利用二次函数的最大值解决生活中几何图形面积最大的一些问题。比如窗框长度一定的情况下如何设计可以使得窗户的透光面积最大、篱笆长度一定的情况下如何使围成的花园面积最大等问题。

[设计意图]通过本章第一课时作为情景引入而未解决的内容作为本课时的开场，让学生感受到利用二次函数性质可以解决现实问题中的最大值问题。从数学的角度研究一些现实的信息，激发学生从数学的角度发现和提出问题、分析和解决实际问题的兴趣和欲望。

二、探索活动

近年来我国农村出现了粮食集约化生产，在种粮成本不断上涨，如何根据当地自然条件和自身经济能力，扩大生产获取最大利益呢？请大家来帮这位种粮大户解决以下问题：（课本第29页）

问题一：某种粮大户去年种植水稻360亩，平均每亩收益440元，他计划今年多承租若干亩稻田，预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2元。该种粮大户今年应多承租多少亩稻田才能使总收益最大？

分析：1、你从题目中获取了哪些信息？有哪些数量的信息？

2、要求最大总收益，那么总收益与哪些量有关系呢？我们需要关注哪几个量？这些量之间又存在什么数量关系？能用什么方法来描述这些数量之间的关系？

3、最大收益指的是什么？怎么求？

注意：在黑板上列出表格寻找数量关系。

解答：设今年多承租x亩稻田，总收益是y元，则

y4403604402xx2x1101826002当x=110时，y的值最大，最大值是182600 答：该种粮大户今年应多承租110亩稻田才能使总收益最大，最大收益为182600元。

（教师板书）

归纳：由学生归纳解题步骤。

反思：请学生思考解答本题的实质是什么？如何从实际问题中抽象出数学问题，如何设置自变量和因变量，建立函数关系，以及如何运用二次函数的最值解决实际生活中的最值问题。

[设计意图]通过学生思考讨论交流回答提出的问题，引导学生从数量关系入手，将实际生活问题数学化，运用二次函数的有关知识来解决实际问题，进而求出最优解。规范答题，明确解题步骤。

三、尝试解决

练习：某鱼塘里饲养了鱼苗10千尾，预计平均每千尾鱼的产量为1000 kg.若再向该鱼塘里投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50 kg.

应再投放鱼苗多少千尾才能使总产量最大？最大总产量是多少？

学生为主进行分析解答。（只进行设自变量建立函数表达式）

[设计意图]巩固练习，强化思维，规范解答。进一步熟悉并掌握此类用二次函数解决实际问题的一般方法，建立二次函数的表达式，进而求得最大值。

问题二：某商家独家销售某品牌的玩具，每件进价为30元，经过市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600个，而销售单价每涨1元就会少售出10个，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润。

拓展与延伸：若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不得低于44元，且商场要完成不少于540个的销售任务，商场销售该品牌玩具获得的最大利润如何变化？

分析：1、本题中并没有给出明确的自变量，分析商场所获利润与哪些量之间有数量关系，这些量之间又有怎样的关系，明确利润与哪个变量之间有关系，从而设未知数建立函数表达式，并求函数的最大值。

可让学生根据需要自主设立不同的未知数。（有两位设不同自变量的同学上黑板板演）

2、本题需要根据实际问题的条件，通过建立不等式求得自变量的取值范围，必须研究利润取得最大值时的自变量是否满足条件。即检查取得函数最大值时x的取值是否在自变量的取值范围之内，如果不是，应根据二次函数的性质求得x为何值时函数有最大值，并求此时的最大值，本题从图像法和解析法两个方面去研究当自变量取多少时函数取得最大值。。

解答：问题二由学生自主解答，拓展与延伸教师分析板书（教师板书）

[设计意图]本题分两个层次，一是通过分析明确利润与哪个量之间有关系，设哪个量为自变量建立函数表达式，并求解最大值。二是根据实际问题得到自变量取值范围，在此条件下如何求函数的最值。目的在于让学生真正掌握用二次函数的思想解决实际问题的全过程。

四、小结思考

1、用二次函数的知识解决建立二次函数模型实际问题的最值时，主要步骤是什么？实际问题----数学化-----数学解----问题解决

2、用二次函数的有关知识解决实际问题的最值时，一定要注意自变量的取值范围，注意考查所得到的二次函数的最大值是否符合实际意义，再明晰结论。

[设计意图]让学生整理归纳本节课的重点，感受生活来源于数学又服务于数学，体会转化、建模等数学思想，掌握从实际问题抽象出数学问题的方法。

【教学感悟】

本节课的重点是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型解决实际问题。在教学过程中，培养学生从读题开始，分析题意，寻找与问题相关的知识，建立

二次函数关系，运用二次函数知识解决实际问题。通过本节课的教学，学生都能体会可以用二次函数解决问题的全过程，本节课的难点是在实际问题中抽象出二次函数模型，当明确了自变量与相应的函数之后，因有一元二次方程解决问题的基础，学生在建立函数表达式的过程比较顺利。但在求函数最值的计算上需要老师引导选用最合适的运算方法，以便学生又快又准确的进行计算。