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《圆中的相似问题》教案常熟外国语初级中学张世民教学目标：1.复习相关知识，提炼出圆中相似基本图形；引导学生围绕基本图形进行线段乘积式相关计算或证明。2.通过问题探究的过程，提高学生逻辑推理能力，感受数形结合、化归与转化等思想。教学重点难点：教学重点：以圆中相似基本图形进行线段乘积式相关计算或证明。教
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小结与思考优秀教案内容
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《圆中的相似问题》教案
常熟外国语初级中学
张世民
教学目标：
1.复习相关知识，提炼出圆中相似基本图形；引导学生围绕基本图形进行线段乘积式相关计算或证明。
2.通过问题探究的过程，提高学生逻辑推理能力，感受数形结合、化归与转化等思想。
教学重点难点：
教学重点：以圆中相似基本图形进行线段乘积式相关计算或证明。
教学难点：圆中相似基本图形的发现、构造、应用。
教学过程：
一．知识回顾
1.如图1，BC是⊙O的直径，AD垂直BC于D，且AD=3,BD=2,则⊙O的半径=
。2.如图2，在⊙O中，AC与BD交于点E，连接AB，
CD，
（1）若AE=5，BE=4，EC=3 ,则CD=
。
（2）连接BC，要使△
BEC
∽
△
BCD，则点B应满足什么条件？
。
（说明：2.是利用几何画板从特殊到一般，将两种相似三角形基本图形嵌入圆中）
A
B
DOC
BA
图1
图2 【设计意图】
通过1.回顾直径所对圆周角是直角，得出射影定理基本图形；通过2.回顾同弧所对圆周角相等，得出相似三角形基本图形“X”和“A”型，为解决问题1做铺垫。
二．问题探究
问题1：如图：在⊙O中，AC与BD交于点E，连接
AB，AD，CB，CD，B为弧AC中点，AD是⊙O的直径，则
（1）若BE=4,ED=5,则BC=
。
（说明：引导学生发掘出圆中相似三角形基本图形，并运用相似性质解决问题。）
（2）求证：
AD·AC=2BD·BC
思路分析:（让学生分析，渗透分析法）
方法一：
AD·AC=2BD·BC
△OBD∽△BAC
方法二：
12AD·AC=BD·BC
OD·AC=BD·BC
ODBDACBC
AD·AC=2BD·BC
AD·AC=BD·BC
(运用垂径定理推论转化AC)
2211方法三：AD·AC=2BD·BC
AD·AC=BD·2BC（延长AB,DC构造等腰三角形转
化2BC，为问题二做铺垫）
方法四：延长AB,DC构造等腰三角形，运用等面积法。
【设计意图】
问题1的（2）是等积式证明，学生自然会想到转化成比例式，再去找相似三角形，而系数2如何处理就成为本题的难点。如何帮助学生克服难点呢？通过渗透截长补短、数形结合等思想，将等积式证明转化为相似问题，引导学生用多种方法求证。培养学生发散性思维，创造性思维；灵活运用分析法和综合法进行演绎推理，提高学生逻辑推理能力。
问题2：如图，AD是⊙
O的直径，C、E为⊙
O上位于AB异侧的两点，连BC、CE．
接DC并延长至点F，使得CD=CF，连接AF交⊙O于点B，连接AE、（1）证明：∠E=∠F；
（2）若∠E=55°，求∠BCD的度数；
（3）设CE交AD于点G，若BC=4，cosD=，
E是弧AB的中点，求EG•EC的值．
FCBD
AOG【设计意图】
E本题是2016苏州中考题，（1）
、（2）问方法比较多，难度不大。（3）是问题一（2）的方法三基本图形的变式，且综合性更强。学生通过这个变式练习，可以巩固所学知识、方法、思想。
三．课堂小结
（说明：先学生小结，后教师总结）
四．课后练习
如图，已知AD是△
ABC的角平分线，⊙
O经过A、B、D三点，过点B作BE∥
AD，交⊙
O于点E，连接ED．
（1）求证：ED∥
AC；
（2）若BD=2CD，设△ EBD的面积为S1，△求△ ABC的面积．
ADC的面积为ES，且S22116S240，AOBDC
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