用计算器求算数平方根、用有理数估计算数平方根的大小教学实录

第六章

教材简析

实

数

本章的内容包括：平方根、立方根、实数．

在学习了有理数的基础上，加强与实际的联系，从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数，即无理数，开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比，数的范围由有理数扩充到实数，与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用．

在中考中，本章的考点有平方根、立方根的定义及运算，实数的运算及大小比较等，考查基本概念及基本计算．

教学指导

【本章重点】

平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算．

【本章难点】

对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．

【本章思想方法】

1．体会分类的数学思想，如：对实数进行分类．

2．掌握分类讨论思想，如：由于一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论．

3．掌握转化思想，如：学***方根和立方根后，运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解．

4．体会数形结合思想，如：数的范围由有理数扩充到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应关系，这样可以通过观察“形”的特点，解答一些关于实数的比较抽象的问题．

课时计划

6．1

平方根3课时

6．2

立方根1课时

6．3

实

数1课时

6．1 平方根

第1课时

算术平方根

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．

2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根．

3．了解算术平方根的性质．

【过程与方法】

加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平，鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神．

【情感态度与价值观】

通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣．

二、重难点目标

【教学重点】

算术平方根的概念．

【教学难点】

根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P40的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数. 2．规定：0的算术平方根是0. 3．算术平方根具有双重非负性：(1)a≥0；(2)a≥0. 4．求下列各数的算术平方根：

(1)81；

(2)0.25；

(3)23. 解：(1)9.

(2)0.5.

(3)23. 环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各数的算术平方根：

(1)64；

(2)0.36；

1(3)2；

(4)412－402. 4【互动探索】(引发学生思考)如何根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根？

【解答】(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8. (2)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6. 329113(3)∵＝＝2，∴2的算术平方根是. 24442(4)∵412－402＝81，92＝81，∴81＝9. ∵32＝9，

∴412－402的算术平方根是3. 【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．5的算术平方根为(

A

) A.5

C．±25

B．25

D．±5 32．一个数的算术平方根是，这个数是(

C

) 43A.

29C.

16B．3

4D．不能确定

3．要切一块面积为0.81 m2的正方形钢板，它的边长是0.9m. 4.4的算术平方根是2. 5．已知3＋a的算术平方根是5，求a的值．

解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22. 活动3

拓展延伸(学生对学) 【例2】已知x、y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．

【互动探索】算术平方根和平方式都具有非负性，即a≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得出什么结论？

【解答】由题意，得x－1＝0，y－2＝0，

所以x＝1，y＝2. 所以x－y＝1－2＝－1.

【互动总结】(学生总结，老师点评)算术平方根、绝对值和平方式都具有非负性，即a≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0. 环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 概念：非负数a的算术平方根记作

算术平方根a≥0性质：双重非负性a≥0a

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时

估算算术平方根

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．会比较两个数的算术平方根的大小．

2．会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识．

3．会用计算器求一个数的算术平方根．

【过程与方法】

体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数．

【情感态度与价值观】

培养学生的探究能力和归纳问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

夹值法及估计一个(无理)数的大小．

【教学难点】

夹值法及估计一个(无理)数的大小的思想．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P41～P44的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．实际上，许多正有理数的算术平方根(例如3，5，7)都是无限不循环小数．

2．被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律：当被开方数扩大(或缩11…时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)到原来小)到原来的100倍，10000倍1001000011…

的10倍，100倍101003．用计算器求一个正有理数的算术平方根的方法：

大多数计算器都有值)．

先按ON键开机，再按

键、“被开方数”、＝，即可显示“算术平方根”．

键，用它可以求出任意一个正有理数的算术平方根(或其近似4．与37最接近的整数是(

B

) A．5

C．7

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】通过估算比较下列各组数的大小：

(1)5与1.9；

(2)6＋1与1.5. 2B．6

D．8 【互动探索】(引发学生思考)(1)估算5的大小，或先求1.9的平方，再比较5与1.92的大小；(2)先估算6的大小，再比较6与2的大小，从而进一步比较6＋1与1.5的大小．

2【解答】(1)(方法一)因为5>4，所以5>4，即5>2，所以5>1.9. (方法二)因为1.92＝3.61,3.61＜5，所以5>1.9. (2)因为6>4，所以6>4，所以6>2，所以6＋12＋16＋1>＝1.5，即>1.5. 222【互动总结】(学生总结，老师点评)比较两个数的大小常用方法有：①作差比较法；②作商比较法；③移因数于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．比较无理数与有理数的大小时要先估算无理数的近似值，再比较它与有理数的大小．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．估计5＋1的值，应在(

C

) A．1和2之间

C．3和4之间

2．估算19－2的值(

B

) A．在1和2之间

C．在3和4之间

B．在2和3之间

D．在4和5之间

B．2和3之间

D．4和5之间

3．计算：

(1)1225；

(2)36.42(精确到0.001)；

(3)13(精确到0.001)．

解：(1)1225＝35. (2)36.42≈6.035. (3)13≈3.606. 活动3

拓展延伸(学生对学) 【例2】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓开始在岩石上生长．每个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失的时间近似地满足如下关系式：d＝7×t－12(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．

(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；

(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，则冰川约是在多少年前消失的？

【互动探索】(1)根据题意可知是求当t＝16时d的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；(2)根据题意可知是求当d＝35时t的值，直接把对应数值代入关系式即可求解．

【解答】(1)当t＝16时，d＝7×16－12＝7×2＝14. 即冰川消失16年后苔藓的直径是14厘米．

(2)当d＝35时，即7×t－12＝35，所以t－12＝25，解得t＝37. 即冰川约是在37年前消失的．

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查算术平方根的实际应用，注意实际问题中涉及开平方通常取算术平方根．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 1．夹值法及估计一个(无理)数的大小．

2．用计算器求一个正数的算术平方根．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时

平方根

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

掌握数的开方的意义、平方根的意义、平方根的表示方法．

【过程与方法】

通过带领学生探究一个数的平方根，使学生理解数的开方、平方根的概念．

【情感态度与价值观】

培养学生的探究能力和归纳问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

平方根的概念．

【教学难点】

求一个数的平方根．

教学过程

环节1

自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P44～P46的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根或叫二次方根．也就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．

2．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．

3．求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算．

4．下列说法不正确的是(

C

) A．－2是2的平方根

B.2是2的平方根

C．2的平方根是2 D．2的算术平方根是2 5．求下列各数的平方根：

416,0，，242. 9解：16的平方根是±4.

0的平方根是0. 42的平方根是±.

242的平方根是±24. 93环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生对学) 【例1】求下列各数的平方根：

(1)124；

(2)0.0001；

25(3)(－4)2；

(4)81. 【互动探索】(引发学生思考)把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．

7244949247±2＝，∴1的平方根是±，即±【解答】(1)∵1＝，25255252552471＝±. 255(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01. (3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±－42＝±4. (4)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3. 【互动总结】(学生总结，老师点评)正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(4)中就是求9的平方根．

【例2】已知一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．

【互动探索】(引发学生思考)一个正数的平方根有两个，它们之间有什么关系呢？

【解答】由于一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0. 即3a－3＝0，解得a＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 【互动总结】(学生总结，老师点评)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．关于平方根，下列说法正确的是(

B

) A．任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数

B．负数没有平方根

C．任何一个数只有一个算术平方根

D．以上都不对

2．如果a、b分别是16的两个平方根，那么ab＝－16. 43．若25x2＝16，则x的值为±. 54．求下列各数的平方根：

1446－(1)196；

(2)104；

(3)；

(4)3. 16925解：(1)±14.

(2)±102. －129(3)±.

(4)±. 135活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】求下列各式中x的值．

(1)x2＝361；

(2)81x2－49＝0；

(3)(3x－1)2＝(－5)2. 【互动探索】上述方程都可以化成一个数或代数式的平方的形式，结合平方根的定义，你能算出x的值吗？

【解答】(1)∵x2＝361，∴开平方，得x＝±361＝±19. 49(2)整理，得x2＝，∴开平方，得x＝±81497＝±. 819(3)∵(3x－1)2＝(－5)2，∴开平方，得3x－1＝±5. 4当3x－1＝5时，x＝2；当3x－1＝－5时，x＝－. 34综上所述，x＝2或－. 3【互动总结】(学生总结，老师点评)利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 平方根的概念平方根平方根的性质开平方及相关运算练习设计

请完成本课时对应练习！