用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程名师教学视频（文字实录）

第二章 一元二次方程

３．用公式法求解一元二次方程（一）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程. 二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

为此，本节课的教学目标是：

①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力. ③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力

三、教学过程分析

本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：布置作业。

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第一环节；复习旧知

活动内容：

①用配方法解下列方程：2x2-6x+3=0 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算

②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 活动目的：

（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

（2）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习. 活动的实际效果：

通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。

第二环节

探究新知

（1）活动1：自主推导求根公式。

提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式. 解：两边都除以一次项系数:a x2bxcaa0 问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a≠0 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

bbbc2x2ax(2a)24a2a0即:

b2b24ac(x)0a4a22

b2b24ac

(x)a4a2 问：现在可以两边开平方吗？

答：不可以，因为不能保证 b4ac0

24a2 问：什么情况下

b4ac0

24a2 学生讨论后回答：

答：

∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b4ac0

24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得：

xbb4ac

2a4a2bb24ac

xa2a xbb4ac

2a2abb24ac

x2a问：如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？

答：方程无解

活动目的：

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。

活动的实际效果：

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：

（1）中b2c运算的符号出现错误和通分出现错误

bb2b2cxx()204a2aa2a4aa2（2）不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方

（3）两边开平方，忽略取“±”。

大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。

（2）活动2：归纳总结公式法定义。

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第三环节：巩固新知

1.例题讲解

（1）x2-7x-18=0 （2）4x2+1=4x

讨论：你能解x2-2x +3=0吗? 2.总结

一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况： 当b2-4ac＞0, 方程方程有两个不相等的实数根

当b2-4ac=0, 方程有两个相等的实数根

当b2-4ac＜0, 方程无实数根

由此可知，一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的情况可由 b2-4ac 来判定。我们把b2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式。通常用希腊字母“Δ”来表示。

3.活动：

１、判断下列方程是否有解：（学生口答）

(1) 2x2+3=7x （2）x2-7x=18 （3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0 学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。

2.当堂检测

（1）16x²+ 8x= 3 （2）x2+2x+2=0

第四环节

作业

课本43页 习题2.5,2题

活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。

活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结．大

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部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。

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