阅读与思考 费尔马大定理全国优秀课堂实录

20世纪最辉煌的数学成就-------证明费马大定理

证明费马大定理的过程是一部数学史。

费马大定理起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。

这是“20世纪最辉煌的数学成就”。

费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。

其内容在教材P35已经有描述。本文所描述的内容是教材中没有的关于费马大定理的事情。

德国佛尔夫斯克曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。

被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。

接力证明

1753年瑞士著名数学家欧拉，在给哥德巴赫的信中说，他证明了n=3时的费马猜想，1770年其证明发表在《代数指南》一书中，方法是“无限下降法”和形如

数系的唯一因子分解定理，这一方法也被后人多次引用。[1] 1816年巴黎科学院把费马猜想转化简化归结为n是奇素数的情况，认为费马猜想应该成立，并称为为费马大定理（以区别费马关于同余的小定理），并为证明者设立大奖和奖章，费马大定理之谜从此进一步风靡全球。

费马自己证明了n=4的情形。

十九世纪初法国自学成才的女数学家热尔曼证明了当n和2n+1都是素数时费马大定理的反例x，y，z至少有一个是n整倍数。在此基础上，1825年德国数学家狄利克雷和法国数学家勒让德分别独立证明费马大定理在n=5时成立，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。

1839年，法国数学家拉梅对热尔曼方法作了进一步改进，并证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合得很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。

1844年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。但对一般情况，在猜想提出的头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。

1847年，巴黎科学院上演戏剧性一幕，

当时著名数学家拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理，拉梅还声称证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理，刘维尔则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。大数学家都被扯入其中，似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了德国数学家库默尔的来信，明确指出证明中的复数系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅和柯西的证明都是错的。

大约在1850年前后，高斯的学生、德国数学家库默尔看到唯一因子分解是否成立是欧拉、热尔曼创立的企图证明费马大定理的方法关键，于是他创立了一种“理想数环”理论，据说

这一思想也受其老师高斯启发，高斯表面上声称对费马大定理不感兴趣，实际上对n=7久思不解。学生库默尔运用独创的“理想素数”理论，一下子证明了100以内除37、59、67以外的所有奇数费马大定理都成立，使证明问题取得了第一次重大突破。

库默尔之后近半个世纪，费马大定理证明都停滞不前，直到二十世纪前期大数学家勒贝格向巴黎科学院提交了一个费马大定理的证明论稿，由于勒贝格当时的权威声望，大家都以为这下问题解决了，但经过广泛传阅其证明稿件，人们遗憾地发现大数学家的分析证明还是错的。

悬赏求证

1908年，格丁根皇家科学协会公布沃尔夫斯凯尔奖：凡在2007年9月13日前解决费马大定理者将获得100000马克奖励。提供该奖者沃尔夫斯凯尔是德国实业家，年轻时曾为情所困决意在午夜自杀，但在临自杀前读到库默尔论述柯西和拉梅证明费马定理的错误让他情不自禁地计算到天明，设定自杀时间过了，他也放不下问题的证明，数学让他重生并后来成为大富豪，1908年这位富豪死时，遗嘱将其一半遗产捐赠设奖，以谢其救命之恩。

从此世界毎年都会有成千上万人宣称证明了费马大定理，但全部都是错的，一些数学权威机构，不得不预写证明否定书。

莫德尔猜想

1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想．按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多只有有限个解．记这个多项式为f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0。后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了。

而费马多项式

没有奇点，其亏格为

。当

时，费马多项式满足猜想的条件。因此，如果莫德尔猜想成立，那么费马大定理中的方程

本质上最多有有限多个整数解。

二战后随着计算机的出现，大量的计算已不再成为问题。借助计算机的帮助，数学家们对500以内，然后在1000以内，再是10000以内的值证明了费马大定理，到80年代，这个范围提高到25000，然后是400万以内。

1983年，德国数学家法尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇章．法尔廷斯也因此获得1986年菲尔兹奖。

谷山丰猜想

1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线与另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山—志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。

1958年英国数学家Birch和Swinnerton--Dyer构造了椭圆曲线E的L（E，s）函数，他们对该函数在s=1处的零点与椭圆曲线E上的有理点关系给出了一个简称BSD猜想。

1984年，德国数学家弗雷在德国小城奥伯沃尔法赫的一次数论研讨会上宣称：假如费马大定理不成立，则由费马方程可构造一个椭圆曲线，它不可被模形式化（一个命题：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数

使得

，那么用这组数构造出的形如

乘以

的椭圆曲线，不可能是模曲线。），也就是说谷山---志村猜想将不成立。但弗雷构造的所谓“弗雷曲线”不可模形式化也说不清具体证明细节，因此也只是猜想，被称为“弗雷命题”，弗雷命题如得证，费马大定理就与谷山---志村猜想等价。

1986年美国加州大学伯克利分的肯.里贝特教授，为证明弗雷命题己奋斗了十八个月，曾亲

耳听到弗雷当年演讲的里贝特深信自己能证明弗雷命题，但久攻未克，这年夏天哈佛大学教授巴里.梅袓尔来伯克利访问并参加国际数学家大会，有一次里贝特与他起喝咖啡，便研讨起弗雷命题，梅袓尔的一个提醒让里贝特恍然大悟，里贝特随即完成了弗雷命题的证明，并当即在这届国际数学家大会内外传开。世界数学界为之兴奋。

证明完成

1986年，英国数学家安德鲁·怀尔斯听到里贝特证明弗雷命题后，感到攻克费马大定理到了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域，他开始放弃所有其它活动，精心疏理有关领域的基本理论，为此准备了一年半时间把椭圆曲线与模形式通过伽罗瓦表示方法“排队”。接下来的要将二种“排队”序列对应配对，这一步他二年无进展。此时他读博时学的岩泽理论一度取得实效，到1991年他之前的导师科茨告诉他有位叫弗莱切的学生用苏联数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线，这一方法使其工作有重大进展。

1993年6月在剑桥牛顿学院要举行一个名为“L函数和算术”的学术会议，组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨，于是在1993年6月21日到23日怀尔斯被特许在该学术会上以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题，分三次作了演讲。听完演讲人们意识到谷山---志村猜想已经证明。由此把法尔廷斯证明的莫德尔猜想、肯.里贝特证明的弗雷命题和怀尔斯证明的谷山---志村猜想联合起来就可说明费马大定理成立。其实这三个猜想每一个都非常困难，问题是怀尔斯最后证明，他变为完成费马大定理证明的最后一棒。

1993年6月23日从剑桥牛顿学院传出费马大定理被证明之后，世界媒体普天盖地般报道了该喜讯。

但此刻数学界反倒十分冷静，明确指论证还需仔细审核，因为历史上曾多少次宣布证明但后来被查证错误。怀尔斯的证明被分为6个部分分别由6人审查，其中第三部分由凯兹负责的查出关于欧拉系的构造有严重缺陷，使科利瓦金---弗莱切方法不能对它适用，怀尔斯对无能为力，1993年12月怀尔斯公开承认证明有问题，但表示很快会补正。一时间怀尔斯的证明被认为是历史上拉梅、柯西、勒贝格、里贝特（里贝特也曾称证明了谷山--志村猜想）错误证明的又一例子。1994年1月怀尔斯邀请剑桥大学讲师理查德.泰勒到普林斯顿帮他完善科利瓦金--弗莱切方法解决问题，但整整8个月过去，问题没有解决。泰勒准备再一个月回剑桥，然后怀尔斯正式公布手稿，承认证明失败，1994年9月19日怀尔斯想自己证明失败原因该怎么写，回顾自己是先用岩泽理论未能突破而后用科利瓦金---弗莱切方法，又该法对一类特殊欧拉系出了问题，这样一想，突然又想到何不再用岩泽理论结合科利瓦金---弗莱切方法试试？问题解法就是这样，怀尔斯绝地逢生，修补了漏洞。1994年10月25日11点4分11秒，怀尔斯通过他以前的学生、美国俄亥俄州立大学教授卡尔.鲁宾向世界数学界发了费马大定理的完整证明邮件，包括一篇长文“模椭圆曲线和费马大定理”，作者安德鲁.怀尔斯。另一篇短文“某些赫克代数的环论性质”作者理查德.泰勒和安德鲁.怀尔斯。至此费马大定理得证。[2] 怀尔斯和他以前的博士研究生理查德·泰勒用了近一年的时间，用之前一个怀尔斯曾经抛弃过的方法修补了这个漏洞，这部份的证明与岩泽理论有关。这就证明了谷山-志村猜想，从而最终证明了费马大定理。

1995年，他们把证明过程发表在《数学年刊》（Annals of Mathematics）第141卷上，证明过程包括两篇文章，共130页，占满了全卷，题目分别为Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem[3]（模形椭圆曲线和费马大定理）以及Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras（某些赫克代数的环理论性质）[4]。[5]

证明者简介

安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles），英国著名数学家、牛津大学教授、美国科学院外籍院士。现在任教于英国牛津大学。

1996年3月，怀尔斯获得沃尔夫奖(Wolf Prize)和5万美金。

1996年6月，当选为美国国家科学院外籍院士并获该科学院数学奖；

1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯凯尔10万马克悬赏大奖，就在格丁根皇家科学协会规定期只剩下10年的时候沃尔夫斯凯尔当年遗愿终于实现。

1998年第23届国际数学家大会在柏林举行，国际数学联合会还史无前例地颁给怀尔斯菲尔兹特别奖一个特殊制作的菲尔兹奖银质奖章。

1999年，他荣获首届克莱数学研究奖

(Clay Research Award)。

2000年，怀尔斯被授勋为爵士。

2005年，怀尔斯又荣获有“东方诺贝尔奖”之称的邵逸夫数学科学奖(Shaw Prize)，奖金100万美金。

2005年8月29日，安德鲁·怀尔斯第一次踏上中国的土地，这甚至是他第一次来到亚洲。北京大学数学院院长张继平、副院长刘化荣，中科院院士田刚、张恭庆、姜伯驹、丁伟岳、文兰等陪同他参观中国。

2016年3月15日，挪威自然科学与文学院宣布将2016年阿贝尔奖(Abel Prize) 授予牛津大学的安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles) 教授，奖金约600万挪威克朗(约465万元人民币)，表彰他令人震惊的费马大定理证明。[6] 其他荣誉还包括罗夫·肖克奖

(Rolf Schock Prize)、奥斯特洛斯基奖

(Ostrowski Prize)、英国皇家学会皇家奖章

(Royal Medal of the Royal Society)、美国国家科学院数学奖

(U.S. National Academy of Science’s Award in Mathematics) 等。

社会评价

史上最精彩的一个数学谜题。[7] 证明费马大定理的过程是一部数学史。

费马大定理起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。

这是“20世纪最辉煌的数学成就”。（中科院院士、北大数学院教授姜伯驹，评价安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明）[8]

年表

1637年，费马在书本空白处提出费马猜想。

1770年，欧拉证明n=3时定理成立

1823年，勒让德证明n=5时定理成立。

1832年，狄利克雷试图证明n=7失败，但证明

n=14时定理成立。

1839年，拉梅证明n=7时定理成立。

1850年，库默尔证明2

1955年，范迪维尔以电脑计算证明了

2

1976年，瓦格斯塔夫以电脑计算证明

2

1985年，罗瑟以电脑计算证明2

1987年，格朗维尔以电脑计算证明了

2

1995年，怀尔斯证明

n>2时定理成立。

参考资料

[1]

R.Taylor and A.Wiles: Ring theoretic properties of certain Hecke algebras, Annals of Mathematics 141 (1995), pp. 553–572, online at http://abel.math.harvard.edu/~rtaylor/ [2]

恨他

就让他去解费马大定理．中国青年报

[引用日期2016-06-15] [3]

Andrew Wiles. Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem. Annals of Mathematics. 1995, 141(3): 443-551.