分数四则混合运算优质课一等奖

集体研究教学预设 第五单元

数学广角 鸽巢问题 一、教材分析： 本教材专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或人）。这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此，“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。 “鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到此类问题。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来，是本次教学能否成功的关键。所以，在教学中，应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。 二、教学目标： 1、引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。 2、经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。学会与人合作，并能与人交流思维过程和结果。

3、

积极参与探索活动，体验数学活动充满着探索与创造。体会数学与生活的紧密联系，感受数学在实际生活中的作用，体验学数学、用数学的乐趣。通过“鸽巢原理”的灵活应用，感受数学的魅力。理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。

三、教学重点: 应用“鸽巢原理”解决实际问题，引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题。

四、教学难点：

1 个性空间

集体研究教学预设 理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。

五、教学措施：

1、让学生经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“鸽巢原理”的过程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。 2、有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面对一个具体的问题时，能否将这个具体问题和“鸽巢原理”联系起来，能否找到该问题中的具体情境与“鸽巢原理”的“一般化模型”之间的内在关系，找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“鸽巢”，是解决问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“鸽巢原理”可以解决的范畴；再思考如何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问题”的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题“数学化”的过程，从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是学生数学思维和能力的重要体现。 3、要适当把握教学要求。“鸽巢原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛且灵活多变。因此，用“鸽巢原理”解决实际问题时，经常会遇到一些困难。例如，有时要找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“鸽巢”，要用几个“鸽巢”。因此，教学时，不必过于要求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题，把大致意思说出来就可以了，鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。

六、课时安排：3课时 鸽巢问题-------------------1课时 “鸽巢问题”的具体应用------1课时 练习课---------------------1课时

2 个性空间

集体研究教学预设 第一课时：鸽巢问题

教学内容：教材第68-69页例1、例2，及“做一做”，及第71页练习十三的1-2题。 教学目标：

1、了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。 2、经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。 3、通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。 教学重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。

教学难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。

教具学具：多媒体课件。

教学过程：

一、创设情境，导入新知

老师组织学生做“抢椅子”游戏（

请3位同学上来，摆开2条椅子），并宣布游戏规则。

师：象这样的现象中隐藏着什么数学奥秘呢？这节课我们就一起来研究这个原理。-------出示课题

二、合作交流，探究新知 1、教学例1(课件出示例题1情境图） 思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢？“总有”和“至少”是什么意思？ 学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题”的学习过程来解决问题。 (1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管怎么放，总有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。 (2)理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。 (3)探究证明。 方法一：用“枚举法”证明。

方法二：用“分解法”证明。

把4分解成3个数。 由图可知，把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4中情况，每一种情况分得的3个数中，至少有1个数是不小于2的数。 方法三：用“假设法”证明。 通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。

3 个性空间

集体研究教学预设 （4）认识“鸽巢问题” 像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。 这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。 小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。 如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放的铅笔比笔筒的数量多3，那么总有1个笔筒里至少放2只铅笔„„ 小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。 （5）归纳总结： 鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。 2、教学例2(课件出示例题2情境图） 思考问题：（一）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。为什么呢？

（二）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？ 学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题（一）。 （1）探究证明。 方法一：用数的分解法证明。 把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情况：

由图可知，每种情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是每种分法中最多那个数最小是3，即总有1个抽屉至少放进3本书。 方法二：用假设法证明。 把7本书平均分成3份，7÷3=2（本）......1（本），若每个抽屉放2本，则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中，那么这个抽屉里就有3本书。 （2）得出结论。 通过以上两种方法都可以发现：7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。 学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题（二）。

（1）用假设法分析。

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集体研究教学预设 8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分别放进其中2个抽屉中，使其中2个抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。 10÷3=3（本）......1（本），把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。 （2）归纳总结：

综合上面两种情况，要把a本书放进3个抽屉里，如果a÷3=b（本）......1（本）或a÷3=b（本）......2（本），那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。 鸽巢原理（二）：古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。 三、巩固新知，拓展应用

1、完成教材第69页的“做一做”。

学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。

2、完成教材第71页练习十三的1-2题。

学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。 四、课堂总结 1、通过今天的学习你有什么收获？

2、回归生活：你还能举出一些能用“鸽巢问题”解释的生活中的例子吗？

五、作业布置：练习册第35页。

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集体研究教学预设

第二课时 “鸽巢问题”的具体应用

教学内容：教材第 70 页例 3，及“做一做”

和第 71 页练习十三的 3-4 题。 教学目标：

1、在了解简单的“鸽巢原理”的基础上，使学生学会用此原理解决

简单的实际问题。 2、经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。 3、通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的

学习兴趣，使学生感受数学的魅力。 教学重难点： 重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。 难点：找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用“鸽巢原

理”进行反向推理。 教学准备：课件。 教学过程： 一、情境导入

二、探究新知 1、教学例 3（课件出示例 3 的情境图）. 出示思考的问题：盒子里有同样大小的红球和篮球各 4 个，要想摸出的球一定有 2 个同色的，少要摸出几个球？

学生通过“猜测验证→分析推理”的学习过程解决问题。

（1）猜测验证。

猜测 1：只摸 2 个球

就能保证这 2 个球

同色。 猜测 2：摸出 5 个球，

肯定有 2 个球是同

色的。 猜测 3：摸出 3 个球，

至少有 2 个球是同

色的。 验

证

只要举出一个反例就可以推翻这种猜测。

如：这两个球正好是一红一蓝时就不能

满足条件。 把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为 5÷2=2...1，所以摸出 5 个球时，至少有 3 个球是同色的，因此摸出 5 个球是没必要的。

把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为 3÷2=1...1，所以摸出 3 个球时，至少有 3 2 个是同色的。

综上所述，摸出 3 个球，至少有 2 个球是同色的。

（2）分析推理。 1、根据“鸽巢原理（一）”推断：要保证有一个抽屉至少有 2 个球，分的无图个数失少要比抽屉数多 1。现在把“颜色种数”看作“抽屉数”，结论就变成了“要保证摸出2 个同色的球，摸出的球的个数至少要比颜

6 个性空间

集体研究教学预设 色种数多 1”。因此，要从两种颜色的球中

保证摸出 2 个同色的，至少要摸出 3 个球。 2、趁热打铁：箱子里有足够多的 5 种不同颜色的球，最少取出多少个球才能保证

其中一定有 2 个颜色一样的球？

学生独立思考解决问题，集体交流。 3、归纳总结：

运用“鸽巢原理”解决问题的思路和方法： （1）分析题意；（2）把实际问题转化成“鸽巢问题”，弄清“鸽巢”和分放的“鸽子”。（3）根据“鸽巢原理”推理并解决问题。

三、巩固练习

1、完成教材第 70 页的“做一做”的第 2 题。（学生独立解答，集体交流。） 2、完成教材第 71 页的练习十三的第 3-4 题。（学生独立解答，集体交流。） 3、课外拓展延伸题：一个布袋里有红色、黑色、蓝色的袜子各 8 只。每次从布袋

里最少要拿出多少只可以保证其中有 2 双颜色不同的袜子？（袜子不分左右） 四、课堂总结

五、布置作业：练习册第36 页的第1、2题。

7 个性空间

集体研究教学预设

第三课时 鸽巢问题练习

教学内容：教材 71 页练习十三的 5、6 题，及相关的练习题。 教学目标：

1、进一步熟知“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”熟练解决简

单的实际问题。 2、经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推

理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

3、通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的

学习兴趣，使学生感受数学的魅力。 教学重难点 重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。

难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。

教学准备：课件。 教学过程： 一、复习导入

二、指导练习 （一）基础练习题 1、填一填： （1）水东小学六年级有 30 名学生是二月份（按 28 天计算）出生的，六年级至少有

（

）名学生的生日是在二月份的同一天。 （2）有 3 个同学一起练习投篮，如果他们一共投进 16 个球，那么一定有 1 个同学

至少投进了（

）个球。

）只鸡要放进同 1 个鸡笼里。

）本书，

（3）把 6 只鸡放进 5 个鸡笼，至少有（

（4）某班有个小书架，40 个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（才可以保证至少有 1 个同学能借到 2 本或 2 本以上的书。

学生独立思考解答，集体交流纠正。 2、解决问题。

（1）（易错题）六（1）班有 50 名同学，至少有多少名同学是同一个月出生的？ （2）书籍里混装着 3 本故事书和 5 本科技书，要保证一次一定能拿出 2 本科技书。

一次至少要拿出多少本书？ （3）把 16 支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有 1 个铅笔盒里的铅笔不

少于 6 支？

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集体研究教学预设 （二）拓展延伸题 1、把 27 个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有 1 个盒子里有 7 个球？

教师引导学生分析：盒子数看作抽屉数，如果要使其中 1 个抽屉里至少有 7 个球，

那么球的个数至少要比抽屉数的（7-1）倍多

1 个，而（27-1）÷（7-1）=4...2，因此

最多放进 4 个盒子里，可以保证至少有 1 个盒子里有 7 个球。

教师引导学生规范解答： 2、一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各 5 只，一次至少取出多少只可以保证每种颜

色至少有 1 只？

教师引导学生分析：假设先取 5 只，全是红的，不符合题意，要继续去；假设再取 5 只，5 只有全是黄的，这时再取一只一定是蓝色的，这样取 5×2+1=11（只）可以保证

每种颜色至少有 1 只。

教师引导学生规范解答： 3、六（2）班的同学参加一次数学考试，满分为 100 分，全班最低分是 75。已知每

人得分都是整数，并且班上至少有 3 人的得分相同。六（2）班至少有多少名同学？

教师引导学生分析：因为最高分是 100 分，最低分是 75 分，所以学生可能得到的

不同分数有 100-745+1=26（种）。

教师引导学生规范解答： 三、巩固练习 完成教材第 71 页练习十三的 5、 6 题。 （学生独立思考解答问题，

集体交流、

纠正。

） 四、课堂总结：

五、布置作业：练习册第36页第3、4题。

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