三元一次方程组的解法2教学设计实例

第八章 二元一次方程组

8.4.2 三元一次方程组

一、教学目标

1．核心素养

通过学习三元一次方程组，培养学生的运算能力、推理能力、应用能力. 2．学习目标

（1）进一步掌握三元一次方程组的解法；

（2）能应用三元一次方程组解决实际问题. 3．学习重点

三元一次方程组的解法

4．学习难点

三元一次方程组的解法过程中的方法选择

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

阅读教材P103－P105，思考：运用三元一次方程组解决实际问题的关键是什么？一般步骤是什么？

2．预习自测

1.下列方程，是三元一次方程的是（ D ）

A.x32x23x70 B.3x2y5 C.12yz4 D.xyz2π

x2.下列方程组中，是三元一次方程组的是（ B ）

x2y3,x2y5,A.x2y7,B.3xz7, 2xy7 2y3z61xz3,xyz5,yC.x2yz5, D.xy6,yab7

3xyz4

3xy3z3,3.解方程组要使运算简便，消元应选（ B ）

4xy2z11,5xy7zA.先消x B.先消y C.先消z D.先消常数项

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）解三元一次方程组的基本思路是什么？消元

（2）采用哪些方法进行消元？加减消元法、代入消元法

2．问题探究

【探究一】

三元一次方程组解决非负数问题

例1 若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．

【知识点：解三元一次方程组】

解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0. 解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0. ab10a3可得方程组b2ac0，解得b4

2cb0c2方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．

【探究二】

利用三元一次方程组求数字问题

3例2 一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位4上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．

【知识点：三元一次方程组的应用】

解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z，则原三位数可表示为100x＋10y＋z. 解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.

3yzx34由题意，得xyz1，解得y6

z8100z10yx100x10yz495答：原三位数是368. 方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么这个两位数可表示为10a＋b.如果一个三位数的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，那么这个三位数可表示为100a＋10b＋c，依此类推．

【探究三】

列三元一次方程组解决实际问题

例3 某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km、20km、40km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？

【知识点：三元一次方程组的应用】

解析：题中有三个等量关系：

①

上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km；

②

从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h；

③

从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h. 解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是xkm，ykm和zkm. xyz70x12yzx由题意，得2.5，解得y54

z4203040yxz2.3203040答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km. 方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．

3.课堂总结

【知识梳理】

基本思路

三元一次方程组

三 元一

次 方程

组应用

列三元一步骤

次方程组

的解应用题

解

法

消元

消元

二元一次方程组

一元一次方程

1.审：弄清题意，找出已知量、未知量及三个等量关系；2.设：设出三个未知数；3.列：根据等量关系列出三元一次方程组；4.解：解所列的三元一次方程组，求出未知数的值；5.答：写出答案.

【重难点突破】

方程组解决实际问题方法

在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程. 4．随堂检测

1.在等式yax2bxc中，当x1时，y0;当x2时，y3;当x5时，y60.求a,b,c的值. 【知识点：解三元一次方程组】

解：将x，y带入可得：

①a-b+c=0 ②

4a+2b+c=3 25a+5b+c=60

③

②-①=3a+3b=3 ③-②=21a+3b=57 所以：18a=54 a=3

解得：b=

-2

c=

-5

2.若|x+2y-5|+(2y+3z-13)2+(3z+x-10)2=0,试求x，y，z的值. 【知识点：解三元一次方程组】

|x+2y-5|≥02）≥0

解：（2y+3z-132（3z+x-10）≥0x+2y-5=0①



所以2y+3z-13=0 ②

，

3z+x-10=0③

①+②+③得：x2y3z14④

④-②得：x=1 ④-③得：y=2 ④-①得：z=3 x1则y2

z3所以x，y，z的值分别为1,2,3. 3.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的三分之一等于丙数的二分之一．求这三个数．

【知识点：三元一次方程组的应用】

解：设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意，得

x+y+z=35

2x-y=5yz=32x=10解得：y=15

z=10答：甲数为10，乙数为15，丙数为10. 4.伦敦奥运会,中国运动员获得金、银、铜牌共87枚,奖牌总数位列世界第二.其中金牌比银牌与铜牌之和少11枚,银牌比铜牌多5枚.问金、银、铜牌各多少

枚？

【知识点：三元一次方程组的应用】

解：设金牌x枚、银牌y枚、铜牌z枚.  x+y+z=87 根据题意列出三元一次方程： x=y+z-11



y=z+5x38 解得：y27

z22答：金牌有38枚、银牌27枚、铜牌22枚.