一元二次方程的根的判别式课堂实录【3】

《一元二次方程根的判别式》教学设计

一、素质教育目标

（一）知识教学点：

1．了解根的判别式的概念．

2．能用判别式判别根的情况．

（二）能力训练点：

1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．

2．进一步考察学生思维的全面性．

（三）德育渗透点：

1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．

2．进一步渗透转化和分类的思想方法．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：会用判别式判定根的情况．

2．教学难点：正确理解“当b-4ac＜0时，方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”

3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax＋bx＋c＝0在实数范围内，当b-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．

三、教学步骤

（一）明确目标

在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b-4ac＞0，b-4ac＝0，b-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．

（二）整体感知

在推导一元二次方程求根公式时，得到b-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方

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程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．

在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

对于一元二次方程 ax＋bx＋c＝0（a≠0）一定有解吗？问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．

2．任何一个一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将

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（1）当b-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

2

（3）当b-4ac＜0时，方程没有实数根．

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

答：b-4ac．

3．①定义：把b-4ac叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．

②一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）．

当△＞0时，有两个不相等的实数根；

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当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根．

反之亦然．

注意以下几个问题：

（1）∵

a≠0，∴

4a＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．

（2）当b-4ac＜0，说“方程ax+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．

4．例1

不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x＋5x+7＝0；（2）3x＋x＝0；

（3）x-4kx＝2k+3；（4） x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数)；

（5）x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数) 学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b-4ac的值；（3）判别根的情况．

强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．（3）含有字母系数时，将△配方后判断。

2.根据方程根的情况判断参数取值范围

（1）k为何值时,关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2 –1 =0有实根？

学生板演、笔答、评价．

(2) m为何值时,关于x的方程4x2-mx =2x+1-m有两个相等实根？

学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．

（3）m为何值时,关于x的一元二次方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？

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问题三：解含有字母系数的方程。

解方程：ax＋bx＋c＝0 提示：分类讨论a≠0 a=0两种情况

练习

（四）总结、扩展

（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．

①定义：把b-4ac叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△”表示

②一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）．

当△＞0时，有两个不相等的实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根．反之亦然．

（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．

四、布置作业

教材P．27中 A 1、2 五、课后记

在推导一元二次方程求根公式时，得到b-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．

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