2.2.1 直线的参数方程教学设计及说课稿

关注知识生成，内化核心素养

“直线的参数方程”（第一课时）教学设计

作者姓名：秦文波

作者所在单位：重庆市璧山中学校

一、内容解析

本课时普通高中课程标准教科书《数学》（选修4-4）（人教B版）第二章“参数方程”第二节的第一课时. 这节课是概念课，既要学习直线的参数方程的有关知识，会利用直线的参数方程解决关问题，更要注重概念的引入、概括、理解与应用，领悟直线的参数方程推导过程中的化归与转化、数形结合等数学思想方法，从本质上理解参数的几何意义. 从本节课的内容特点分析，学习过程中历经发现问题、提出问题、建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，探索和表述论证过程，获得数学概念和规则，建立数学模型，形成数学方法，这些体验正是数学抽象、逻辑思维、数学建模、数学运算以及直观想象等数学核心素养提升的良好素材. 二、学情分析

从知识上看，学生前面已经学习过参数方程的概念，普通方程与参数方程的互化，圆、椭圆、双曲线、抛物线等的参数方程，体验了参数方程在解决问题中一些应用，对参数方程在求轨迹与解题方面的优越性有了一定的体验. 从方法上看，关于参数方程中参数的选择，圆的参数方程中参数是先从物理意义引入，再阐明其几何意义，抛物线的参数选择有两个方向，首先在参数方程的引例中从物理意义引入，在后面抛物线的参数方程专题中，又得到了两种几何意义上的参数。直线的参数方程中参数的选定对学生相当困难，虽然可以根据确定直线的几何条件联想到向量，但是，如何建立联系仍是难点，特别是对单位向量的引入没有多少知识准备. 授课对象为重点中学实验班学生，学生素质较好. 三、教学目标

（1）通过确定直线的几何条件，引导学生利用向量工具建立直线的参数方程，培养数学建模的素养；

（2）从一般到特殊，在数轴上理解直线的参数方程中参数的几何意义，从特殊到一般，得到直线的参数方程，在参数方程推理过程中，提升数学抽象、数学建模以及逻辑推理的核心素养. （3）会求直线的参数方程，会进行参数方程与普通方程之间的互化. 根据以上背景分析与目标分析，确定本节课的教学重点与教学难点如下：

教学重点：直线的参数方程中参数的选择，对参数几何意义的理解以及参数方程的简单应用；

教学难点：直线的参数方程中参数的选择、几何意义的理解以及直线的单位方向向量的确定. 四、教学设计思路与教学分析

按照问题提出—探索发现—应用回顾的顺序，学习知识的过程中，体验从一般到特殊，从特殊到一般探索、解决问题的途径，在数形结合、转化与划归的过程中，在提出问题、解决问题的能力，提升数学素养，提高综合利用知识解决问题的能力. 教学方法：讲授法与启发法. 五、教学过程设计

（一）引出问题，激发兴趣

前面已经学习了圆、椭圆以及双曲线等的参数方程及其应用，我们发现利用参数方程，一方面便于建立一些曲线的轨迹方程，另一方面在思路的自然、运算的简捷等方面具有一定的优越性。但是，还有一个我们很熟悉的老朋友没有出场，那就是直线。我们这节课就一起探讨，看看它的参数方程是什么，它的参数方程又能给我们带来哪些惊喜。

设计意图：联系前面的知识，回忆有关内容，激发学习兴趣。在解析几何部分学生对运算谈虎色变，对于可以减少运算量的方法往往比较关注，明示这节课的学习目标。

问题1：确定一条直线的几何条件是什么？

师生活动：教师提出问题，引导学生对本源性的知识回顾。可以是两个点，

在平面直角坐标系中归结为两个条件：①定点M0x0,y0，②倾斜角，教师写出直线的点斜式方程yy0tanxx0；实际上，还可以有向量视角下2的，一个点，一个方向，为直线的参数方程打下基础。

设计意图：通过直线知识的回顾，得到普通方程，回归本源，启发知识联想，为利用向量解决参数方程问题做好铺垫；三种确定直线的视角对学生来说是知识的回顾，也反映出人类认识、研究几何对象的不同视角与方法的改变，反映出人类对数学对象认识的不断发展与改进。

问题2：什么是过点M0x0,y0，倾斜角为的直线的参数方程，求直线的参数方程需要做什么？

师生活动：学生在学习参数方程的基础上，根据自己的理解，回答直线的参数方程的概念。教师画出过点M0x0,y0，倾斜角为的直线l，学生讨论、回答，教师引导，对于求直线的参数方程，归纳为两点：①引入参数t，②建立直线上任意一点M的坐标x,y与参数t，常数x0,y0,之间的关系. 设计意图：从具体的几何对象提出问题，复习曲线的参数方程的概念，在概念的具体化、转述的过程中聚焦问题，明确问题，理解概念的内涵。

追问：按照你的经验，依照确定直线的几何条件，你认为可以从哪些角度选择直线的参数方程中的参数？

师生活动：可以从物理、几何意义角度选择，也可以是没有明显意义的量，当然，我们最好选择具有几何意义的量；学生自发或者教师引导。

设计意图：这个问题学生可能会有多种思路，从教学目标出发，可以适度开放，也要注意收与放的关系，保证课堂的效率与探究有效性，突出重点。

（二）直观想象，特殊入手

问题3：求过点M0x0,y0，倾斜角为的直线的参数方程引入什么参数？

师生活动：教师通过“几何画板”演示点在直线上运动，学生观察、思考，讨论引入何种参数。根据图像，移动点M，发现确定点M坐标的两个因素：M0，M之间的距离；倾斜角；方向——利用向量的工具解决问题。

设计意图：上面的讨论可以归结为两个问题，首先是引入参数，而且目标确定为引入具有几何意义的参数，根据“几何画板”演示，直观想象，通过尝试，逐步调整参数的性质；距离——维坐标—数量。

追问：当点M在过M0的直线上运动时，如何确定点M的位置？这时，参数t的几何意义是什么？

师生活动：教师提问，利用“几何画板”隐藏功能，隐藏坐标系以及点的二维坐标，只显示一条直线上点的运动，引导学生发现，与数轴类似，任何一条直线上面取任何一点作原点、单位长度、正方向都可以作为数轴，在数轴上确定点的位置，只要引入一维意义下的坐标t即可。教师再引导学生从向量角度看数轴：一个原点、一个单位向量。

对于参数的几何意义，学生讨论、回答、明确、归纳：①数轴上的坐标；②uuuuuruuuuur它的绝对值就是点M到“原点”的距离M0Mt；③有向线段M0M的数量。

设计意图：回到问题本质，点是位置的抽象，点的位置的改变形成“位置差”就是“距离”。解决直线的参数方程的一个核心问题：在数轴上引入参数，突破难点。

（三）类比推理，探索结论

问题4：如何确定倾斜角为的直线上的单位向量？如何写出过点M0x0,y0，倾斜角为的直线的参数方程？

师生活动：作为一维的数轴已经解决问题，回归二维坐标系，只要确定倾斜角为的直线的单位向量。学生讨论，x轴上的单位向量1,0逆时针旋转即得到倾斜角为的直线上的单位向量，ecos,sin。根据向量共线定理，得到uuuuurxx0tcos再转化为坐标关系，得到直线的参数方程（t为参数）。

M0Mte，yy0tsin设计意图：关键是得到直线的单位方向向量，通过单位圆把x轴上的单位长度转化为单位向量，从而将二维问题转化为一维问题，转化为已经解决的数轴情形。这里学生也可以认识到，直线的参数方程可以理解为平面上两种不同坐标系下的坐标变换，即平面上同一点的一维坐标t与二维坐标x,y之间的换算式。

问题5：参数t的几何意义是什么？

uuuuur师生活动：类比数轴，再次得出参数t的几何意义：①M0Mt；②在M0M上，以M0为原点，以ecos,sin为单位向量的“数轴”上的一维坐标；③直线uuuuuruuuuurl上有向线段M0M的数量，当0,时，sin0，若t0，则M0M方向向uuuuur上；若t0，则M0M方向向下；若t0，则M与M0重合。

设计意图：类比数轴突破难点，突出重点，加深对参数的几何意义的直观理解。

问题6：直线的参数方程中，哪些是变量？哪些是常量？t的取值范围是什么？

师生活动：学生回答，准确理解参数方程中各个量的含义。

设计意图：明确参数方程的特征，参数方程中的变量、常数、参数以及参数的取值范围，理解直线的参数方程中各个量的意义，为正确使用打下基础。

（四）对比体验，提高兴趣

【例1】设直线l过点2,1，倾斜角为2，试写出它的一个参数方程. 3练习1：设直线l:x3y10，试写出它的一个参数方程. 0x3tsin25【例2】直线（t为参数）的倾斜角为_______. 0ytcos251x2t2练习2：直线（t为参数）的普通方程为_______. y13t2【例3】已知直线xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长和点M1,2到A,B两点的距离之积.

师生活动：学生练习，体验写出直线的参数方程的步骤以及关注的问题。

设计意图：理解直线的参数方程的特征，熟练由直线的几何特征写出直线的参数方程的步骤、方法，关注直线的参数方程的形式特征，为应用直线的参数方

程求解问题做铺垫。

（五）反思成果，引发探究

通过学生谈收获、谈困惑，归纳关于直线的参数方程的有关知识，感悟其中涉及的数学思想方法，特别是发现问题、解决问题过程中一般与特殊、分解与组合等辩证法思想的应用。

（六）布置作业

作业：课本习题2.3第1，2，3题。

设计意图：加深学生对直线的参数方程，特别是参数的几何意义的理解，提高利用直线的参数方程求解有关问题的能力。