5　不确定性关系第一课时导学案

4

概率波

5

不确定性关系

[学习目标]

1.了解经典物理学中的粒子和波的特点.2.了解概率波的内容.3.了解“不确定性关系”的含义．

一、概率波

[导学探究]

用极微弱的可见光做双缝干涉实验，随着时间的增加，在屏上先后出现如图1甲、乙、丙所示的图象．

图1 (1)图象甲是曝光时间很短的情况，光点的分布有什么特点？说明了什么问题？

(2)图象乙是曝光时间稍长情况，当光子数较多时落在哪些区域的概率较大？可用什么规律来确定？

(3)图象丙是曝光时间足够长的情况，体现了光的什么性？怎样解释上述现象？

答案

(1)当曝光时间很短时，屏上的光点是随机分布的，具有不确定性，说明了光具有粒子性．

(2)落在某些条形区域的概率较大，这种概率可用波动规律来确定．

(3)光的波动性．综合上面三个图象可知，少量光子呈现粒子性，大量光子呈现波动性，而且光是一种概率波．

[知识梳理]

1．光波是一种概率波：光的波动性不是光子之间的相互作用引起的，而是光子自身固有的性质，光子在空间出现的概率可以通过波动的规律确定，所以，光波是一种概率波．

2．物质波也是概率波：对于电子和其他微观粒子，单个粒子的位置是不确定的，但在某点附近出现的概率的大小可以由波动的规律确定，对于大量粒子，这种概率分布导致确定的宏观结果，所以物质波也是概率波．

3．经典的粒子

(1)含义：粒子有一定的空间大小，具有一定的质量，有的还带有电荷．

(2)运动的基本特征：遵从牛顿运动定律，任意时刻有确定的位置和速度，在时空中有确定的

轨道．

4．经典的波

(1)含义：在空间是弥散开来的．

(2)特征：具有频率和波长，即具有时空的周期性．

[即学即用]

判断下列说法的正误．

(1)光子通过狭缝后落在屏上的位置是可以确定的．(

×

) (2)光子通过狭缝后落在屏上亮条纹处的概率大些．(

√

) (3)电子通过狭缝后运动的轨迹是确定的．(

×

) (4)经典的波在空间传播具有周期性．(

√

) 二、不确定性关系

[知识梳理]

1．定义：在经典物理学中，可以同时用质点的位置和动量精确描述它的运动，在微观物理学中，要同时测出微观粒子的位置和动量是不太可能的，这种关系叫不确定性关系．

h2．表达式：ΔxΔp≥. 4π其中以Δx表示粒子位置的不确定量，以Δp表示粒子在x方向上的动量的不确定量，h是普朗克常量．

3．微观粒子运动的基本特征：不再遵守牛顿运动定律，不可能同时准确地知道粒子的位置和动量，不可能用“轨迹”来描述粒子的运动，微观粒子的运动状态只能通过概率做统计性的描述．

[即学即用]

判断下列说法的正误．

(1)电子通过狭缝后运动的轨迹是确定的．(

×

) (2)宏观物体的动量和位置可准确测定．(

√

) (3)微观粒子的动量和位置不可同时准确测定．(

√

)

一、对概率波的理解

1．单个粒子运动的偶然性：我们可以知道粒子落在某点的概率，但不能预言粒子落在什么位置，即粒子到达什么位置是随机的，是预先不能确定的．

2．大量粒子运动的必然性：由波动规律我们可以准确地知道大量粒子运动时的统计规律，因此我们可以对宏观现象进行预言．

3．概率波体现了波粒二象性的和谐统一：概率波的主体是光子、实物粒子，体现了粒子性的一面；同时粒子在某一位置出现的概率受波动规律支配，体现了波动性的一面，所以说概率波将波动性和粒子性统一在一起．

例1

(多选)在单缝衍射实验中，中央亮纹的光强占从单缝射入的整个光强的95%以上，假设现在只让一个光子通过单缝，那么该光子(

) A．一定落在中央亮纹处

B．一定落在亮纹处

C．可能落在暗纹处

D．落在中央亮纹处的可能性最大

答案

CD 解析

根据光波是概率波的概念，对于一个光子通过单缝落在何处，是不可确定的，但概率最大的是落在中央亮纹处，可达95%以上，当然也可落在其他亮纹处，还可能落在暗纹处，不过，落在暗纹处的概率很小，故C、D选项正确．

针对训练

(多选)在双缝干涉实验中出现的亮暗条纹说明了(

) A．光具有波动性

B．光具有粒子性

C．光波是一种概率波

D．以上说法全都错误

答案

AC 解析

双缝干涉实验中出现的亮条纹和暗条纹，说明了光子落点具有一定的概率，即符合概率波的规律，并说明光具有波动性．

1．在双缝干涉和单缝衍射的暗条纹处也有光子到达，只是光子数量“特别少”，很难呈现出亮度．

2．要理解统计规律，对统计规律的正确认识是理解概率波的前提．

二、对不确定性关系的理解

1．单缝衍射现象中，粒子在挡板左侧的位置是完全不确定的，即通过挡板前粒子的位置具有不确定性．

2．单缝衍射现象中，粒子通过狭缝后，在垂直原来运动方向的动量是不确定的，即通过挡板后粒子的动量具有不确定性．

h3．微观粒子运动的位置不确定量Δx和动量的不确定量Δp的关系式ΔxΔp≥，其中h是普4π朗克常量，这个关系式叫不确定性关系．

4．不确定性关系告诉我们，如果要更准确地确定粒子的位置(即Δx更小)，那么动量的测量一定会更不准确(即Δp更大)，也就是说，不可能同时准确地知道粒子的位置和动量，也不可能用“轨迹”来描述粒子的运动．

h例2

(多选)根据不确定性关系ΔxΔp≥，判断下列说法正确的是(

) 4π

A．采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度下降

B．采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度上升

C．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备有关

D．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备无关

答案

AD 解析

不确定性关系表明，无论采用什么方法试图确定位置坐标和相应动量中的一个，必然引起另一个较大的不确定性，这样的结果与测量仪器及测量方法是否完备无关，无论怎样改善测量仪器和测量方法，都不可能逾越不确定性关系所给出的限度．故A、D正确．

例3

质量为10 g的子弹与电子的速率相同，均为500 m/s，测量准确度为0.01%，若位置和速率在同一实验中同时测量，试问它们位置的最小不确定量各为多少？(电子质量为m＝9.1×10－31kg，结果保留三位有效数字) －31答案

1.06×10 m

1.16×103 m －解析

测量准确度也就是速度的不确定性，故子弹、电子的速度不确定量为Δv＝0.05 m/s，子弹的动量的不确定量Δp1＝5×104 kg·m/s，电子动量的不确定量Δp2＝4.55×10－－－32 kg·m/s，6.63×1034h－31由Δx≥，子弹位置的最小不确定量Δx1＝ m，电子位－4

m≈1.06×104πΔp4×3.14×5×106.63×1034－3置的最小不确定量Δx2＝ m. －32

m≈1.16×104×3.14×4.55×10－

理解不确定性关系时应注意的问题

(1)对子弹这样的宏观物体，不确定量是微不足道的，对测量准确性没有任何限制，但对微观粒子却是不可忽略的．

(2)在微观世界中，粒子质量较小，不能同时精确地测出粒子的位置和动量，也就不能准确地把握粒子的运动状态．

1．(多选)下列各种波属于概率波的是(

) A．声波

C．光波

答案

CD 解析

光波的波动性具有概率波的规律，任一运动的物体均有一种物质波与之对应，且这种物质波也具有概率波的规律．概率波与机械波和电磁波的本质不同．

h2．(多选)关于不确定性关系ΔxΔp≥有以下几种理解，正确的是(

) 4πB．无线电波

D．物质波

A．微观粒子的动量不可确定

B．微观粒子的位置坐标不可确定

C．微观粒子的动量和位置不可能同时确定

D．不确定性关系不仅适用于电子和光子等微观粒子，也适用于其他宏观粒子

答案

CD 解析

不确定性关系表示位置、动量的精度相互制约，此长彼消，当粒子的位置不确定性更小时，粒子动量的不确定性更大；反之亦然，故不能同时准确确定粒子的位置和动量，不确定性关系是自然界中的普遍规律，对微观世界的影响显著，对宏观世界的影响可忽略，故C、D正确．

h－3．已知＝5.3×1035 J·s，试求下列情况中速度测定的不确定量，并根据计算结果，讨论在4π宏观和微观世界中进行测量的不同情况．

(1)一个球的质量

m＝1.0 kg，测定其位置的不确定量为106 m. －(2)电子的质量me＝9.1×10答案

见解析

－31 kg，测定其位置的不确定量为10－10 m. h解析

(1)由Δx·Δp≥得：球的速度测定的不确定量

4π5.3×1035h－Δv≥＝1029

m/s －6

m/s＝5.3×4πmΔx1.0×10－这个速度不确定量在宏观世界中微不足道，可认为球的速度是确定的，其运动遵从经典物理学理论．

(2)电子的速度测定的不确定量

5.3×1035hΔv≥＝

m/s 4πmeΔx9.1×10－31×10－10－≈5.8×105 m/s 这个速度不确定量不可忽略，不能认为电子具有确定的速度，其运动不能用经典物理学理论处理．

一、选择题(1～5题为单选题，6～9题为多选题) 1．在做双缝干涉实验时，发现100个光子中有96个通过双缝后打到了观察屏上的b处，则b处是(

) A．亮纹

B．暗纹

C．既有可能是亮纹也有可能是暗纹

D．以上各种情况均有可能

答案

A 解析

由光子按波的概率分布的特点去判断，由于大部分光子都落在b点，故b处一定是亮纹，选项A正确．

2．关于电子云，下列说法正确的是(

) A．电子云是真实存在的实体

B．电子云周围的小黑点就是电子的真实位置

C．电子云上的小黑点表示的是电子的概率分布

D．电子云说明电子在绕原子核运动时有固定轨道

答案

C 解析

由电子云的定义我们知道，电子云不是一种稳定的概率分布，人们常用小黑点表示这种概率，小黑点的密疏代表电子在这一位置出现的概率大小，故只有C正确．

h3．从衍射的规律可以知道，狭缝越窄，屏上中央亮条纹就越宽，由不确定性关系ΔxΔp≥，4π判断下列说法正确的是(

) A．入射的粒子有确定的动量，射到屏上粒子就有准确的位置

B．狭缝的宽度变小了，因此粒子的不确定性也变小了

C．更窄的狭缝可以更准确地测得粒子的位置，但粒子动量的不确定性却更大了

D．可以同时确定粒子的位置和动量

答案

C h解析

由ΔxΔp≥知，狭缝变小了，即Δx减小了，Δp变大，即动量的不确定性变大，故C4π正确，A、B、D错误．

4．1927年戴维孙和革末完成了电子衍射实验，该实验是荣获诺贝尔奖的重大近代物理实验之一．如图1所示的是该实验装置的简化图．下列说法不正确的是(

)

图1 A．亮条纹是电子到达概率大的地方

B．该实验说明物质波理论是正确的

C．该实验说明了光子具有波动性

D．该实验说明实物粒子具有波动性

答案

C

解析

该实验说明物质波理论是正确的，实物粒子也具有波动性，亮条纹是电子到达概率大的地方，不能说明光子具有波动性，故选C. 5．显微镜观看细微结构时，由于受到衍射现象的影响而观察不清，因此观察越细小的结构，就要求波长越短，波动性越弱．在加速电压值相同的情况下，电子显微镜与质子显微镜的分辨本领，下列判定正确的是(

) A．电子显微镜分辨本领较强

B．质子显微镜分辨本领较强

C．两种显微镜分辨本领相同

D．两种显微镜分辨本领无法比较

答案

B 12p2hh解析

在电场中加速eU＝mv＝，又由物质波公式λ＝得λ＝，所以经相同电压22mp2meU加速后的质子与电子相比，质子的物质波波长短，波动性弱，从而质子显微镜分辨本领较强，即B选项正确．

6．关于光的波动性与粒子性，以下说法正确的是(

) A．爱因斯坦的光子说否定了光的电磁说

B．光电效应现象说明了光的粒子性

C．光波不同于机械波，它是一种概率波

D．光的波动性和粒子性是相互矛盾的，无法统一

答案

BC 解析

爱因斯坦的光子说并没有否定电磁说，只是在一定条件下光是体现粒子性的，A错；光电效应说明光具有粒子性，说明光的能量是一份一份的，B对；光波在少量的情况下体现粒子性，大量的情况下体现波动性，所以C对；光的波动性和粒子性不是孤立的，而是有机的统一体，D错．

7．以下说法正确的是(

) A．微观粒子不能用“轨道”观点来描述粒子的运动

B．微观粒子能用“轨道”观点来描述粒子的运动

C．微观粒子位置不能精确确定

D．微观粒子位置能精确确定

答案

AC 解析

微观粒子的动量和位置是不能同时确定的，这也就决定不能用“轨道”的观点来描述粒子的运动(轨道上运动的粒子在某时刻具有确定的位置和动量)，故A正确．由微观粒子的波粒二象性可知微观粒子位置不能精确确定，故C正确．

8．为了验证光的波粒二象性，在双缝干涉实验中将光屏换成照相底片，并设法减弱光的强度，

下列说法正确的是(

) A．使光子一个一个地通过双缝干涉实验装置的狭缝，如果时间足够长，底片上将出现双缝干涉图样

B．使光子一个一个地通过双缝干涉实验装置的狭缝，如果时间足够长，底片上将出现不太清晰的双缝干涉图样

C．大量光子的运动规律显示出光的粒子性

D．个别光子的运动显示出光的粒子性

答案

AD 解析

单个光子运动具有不确定性，大量光子落点的概率分布遵循一定规律，显示出光的波动性．使光子一个一个地通过双缝，如果时间足够长，底片上会出现明显的干涉图样，A正确，B、C错误；由光的波粒二象性知，个别光子的运动显示出光的粒子性，D正确．

9．电子的运动受波动性的支配，对于氢原子的核外电子，下列说法正确的是(

) A．氢原子的核外电子可以用确定的坐标描述它们在原子中的位置

B．电子绕核运动时，可以运用牛顿运动定律确定它的轨道

C．电子绕核运动的“轨道”其实是没有意义的

D．电子轨道只不过是电子出现的概率比较大的位置

答案

CD 解析

微观粒子的波动性是一种概率波，对于微观粒子的运动，牛顿运动定律已经不适用了，所以氢原子的核外电子不能用确定的坐标描述它们在原子中的位置，电子的“轨道”其实是没有意义的，电子轨道只不过是电子出现的概率比较大的位置，综上所述，C、D正确．

二、非选择题

10．一辆摩托车以20 m/s的速度向墙冲去，车身和人共重100 kg，则车撞墙时的不确定范围是怎样的？

答案

大于等于2.64×10－38 m －6.63×1034hh－解析

根据不确定性关系ΔxΔp≥得：Δx≥＝

m≈2.64×1038 m. 4π4πΔp4×3.14×100×2011．(1)以下说法中正确的是________．

A．光的波粒二象性，就是由牛顿的微粒说和惠更斯的波动说组成的

B．光的波粒二象性彻底推翻了麦克斯韦的光的电磁说

C．光子说并没有否定光的电磁说，在光子能量ε＝hν中，频率ν表示波的特征，ε表示粒子的特征

D．光波和物质波都是概率波

E．光的波动性是光子本身固有的性质，不是光子之间相互作用引起的

(2)如图2所示为示波管示意图，电子的加速电压U＝104 V，打在荧光屏上电子的位置确定在

0.1 mm范围内，可以认为令人满意，则电子的速度是否可以完全确定？是否可以用经典力学来处理？电子质量m＝9.1×10－31 kg.

图2 答案

(1)CDE

(2)可以完全确定

可以用经典力学来处理

解析

(1)牛顿的微粒说认为光是由物质微粒组成的，惠更斯的波动说认为光是机械波，都是从宏观现象中形成的观念，故A错误；光子说并没有否定光的电磁说，光子能量公式ε＝hν，体现了其粒子性和波动性，B错误，C正确；光波和物质波都是概率波，D正确；光的波动性是光子本身固有的性质，不是光子之间相互作用引起的，E正确．

(2)Δx＝104

m，由ΔxΔp≥－h－得，动量的不确定量最小值Δp≈5×1031

kg·m/s，其速度不确4π1－－定量最小值Δv≈0.55 m/s.mv2＝eU＝1.6×1019×104 J＝1.6×1015 J，v≈6×107 m/s，Δv远2小于v，电子的速度可以完全确定，可以用经典力学来处理．