测试第二课时 公开课

经典例题

类型一．有关概念的识别

1．下面几个数：0.23

，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（

）

A、1

B、2

C、3

D、4

解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，

故选C

举一反三：

【变式1】下列说法中正确的是（

）

A、的平方根是±3

B、1的立方根是±1

C、=±1

D、是5的平方根的相反数

是无理数

【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，

∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．

=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．

∵1的立方根是1，

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（

）

A、1

B、1.4

C、

D、

，

【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为由圆的定义知|AO|=

【变式3】

，∴A表示数为，故选C．

【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10

因此3π-9＞0，3π-10＜0

∴

类型二．计算类型题

A. 2．设，则下列结论正确的是（

）

B.

C.

D. ，所以选B

解析：（估算）因为

举一反三：

【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）

-27立方根是__________. 3）___________，

___________，___________.

【答案】1）

；.2）-3. 3），

，

【变式2】求下列各式中的

（1）

【答案】（1）

（2）

（3）

（2）x=4或x=-2（3）x=-4 类型三．数形结合

3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为

，则A，B两点的距离为______

解析：在数轴上找到A、B两点，

举一反三：

【变式1】如图，数轴上表示1，表示的数是（

）．

的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C

A．－1 B．1－

C．2－

D．－2

【答案】选C

[变式2]

已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

化简

【答案】：

类型四．实数绝对值的应用

(1) |

(3) |4．化简下列各式：

-1.4|

(2) |π-3.142| -|

(4) |x-|x-3|| (x≤3)

(5) |x2+6x+10|

分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

解：(1) ∵

∴|=1.414…＜1.4

-1.4|=1.4-

(2) ∵π=3.14159…＜3.142

∴|π-3.142|=3.142-π

(3) ∵＜, ∴|-|=-

(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,

∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|

=|2x-3| =

说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对楚的认识，并能灵活运用。

(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|

∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0

∴|x2+6x+10|= x2+6x+10

举一反三：

【变式1】化简：

【答案】

=

+-这个绝对值的基本概念要有清=

类型五．实数非负性的应用

5．已知：=0，求实数a, b的值。

不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，

分析：已知等式左边分母

由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组

从而求出a, b的值。

解：由题意得

由(2)得

a2=49 ∴a=±7

由(3)得

a>-7，∴a=-7不合题意舍去。

∴只取a=7

把a=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7, b=21为所求。

举一反三：

+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。

+|y+2z|=0 ≥0, |y+2z|≥0,

【变式1】已知(x-6)2+

解：∵(x-6)2+

且(x-6)2≥0,

几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

∴

解这个方程组得

∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【变式2】已知

【答案】初中阶段的三个非负数：

a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2

那么a+b-c的值为___________

，

类型六．实数应用题

6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

解：设新正方形边长为xcm，

根据题意得

x2=112+13×8

∴x2=225

∴x=±15

∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，

∴只取x=15(cm)

答：新的正方形边长应取15cm。

举一反三：

【变式1】拼一拼，画一画：

请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下

的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）

积

（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？

（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面

多24cm2，求中间小正方形的边长.

解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：

，所以面积为=，

。

，

（或，，即小正方形的边长：

，

大正方形的面积=

一个长方形的面积=

所以，

答：中间的小正方形的面积

发现的规律是：

(2)

又大正方形的边长：）

大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2

代入，得：cm

所以有，

化简得：

将

答：中间小正方形的边长2.5 cm。

类型七．易错题

7．判断下列说法是否正确

的算术平方根是-3；

（2）的平方根是±15.

（1）

（3）当x=0或2时，

（4）是分数

解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故

（2）

故表示225的算术平方根，即的平方根是. =，显然此式无意义，

=15.实际上，本题是求15的平方根，

（3）注意到，当x=0时，

发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.

（4）错在对实数的概念理解不清.

形如分数，但不是分数，它是无理数. 类型八．引申提高

8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值. ②③

（2）把下列无限循环小数化成分数：①

（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．

解：由

∴

的整数部分a=5,

得

的小数部分

，

（2）解：(1) 设x=

则

②-①得

9x=6

①

②

∴

.

(2) 设

则

②-①，得

99x=23

①

②

∴

(3) 设

则

②-①，得

999x=107，

①

②

.

∴

.

学习成果测评：

A组（基础）

一、细心选一选

1．下列各式中正确的是（

）

A．

2.

B.

C.

D.

的平方根是( )

C. 2

D.

A．4

B.

3. 下列说法中

①无限小数都是无理数

②无理数都是无限小数

③-2是4的平方根

④带根号的数都是

无理数。其中正确的说法有（

）

A．3个

B. 2个

C. 1个

D. 0个

4．和数轴上的点一一对应的是（

）

A．整数

B.有理数

C. 无理数

D. 实数

5．对于来说（

）

A．有平方根

B．只有算术平方根

C. 没有平方根

D. 不能确定

6．在数

的个数有（

）

A．3个

B. 4个

C. 5个

D. 6个

7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（

）

A．

B.

C. （两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理

D.

8．下列各组数中，互为相反数的是（

）

A．-2与

B.∣-∣与

C. 与

D. 与

9．-8的立方根与4的平方根之和是（

）

A．0

B. 4

C. 0或-4

D. 0或4

10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（

）

A．

B.

C.

D.

二、耐心填一填

11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。

12．的算术平方根是_______，=______。

13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。

14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。

15．填入两个和为6的无理数，使等式成立：

___+___=6。

16．大于，小于的整数有______个。

互为相反数，则a=______，b=_____。

=3，且ab0，则a-b=______。

则A、B两点间的距离为______。

17．若∣2a-5∣与

18．若∣a∣=6，

19．数轴上点A，点B分别表示实数

20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。

三、认真解一解

21．计算

⑴

⑵

⑶

⑷

∣∣+∣∣

⑸

×+×

⑹

4×[ 9 + 2×（）] （结果保留3个有效数字）

22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们

的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：

参考答案：

一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D

二：11、

13、0；0，

17、9 ，π-3

12、3，

；0，1

14、

15、答案不唯一

如：

16、5

18、-15

19、2

20、1，

三：

21、⑴

22、

⑵-17

⑶-9

⑷2 ⑸-36

⑹37.9

B组（提高）

一、选择题：

1．的算术平方根是

（

）

D．

A．0.14

B．0.014

C．

2．

的平方根是

（

）

A．－6

B．36

C．±6

D．±

3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②

；③的立方根是2；④，

其中正确的个数有

（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4．在下列各式中，正确的是

（

）

A．;

B．;

C．;

D．

5．下列说法正确的是

（

）

A．有理数只是有限小数

B．无理数是无限小数

C．无限小数是无理数

D．

6．下列说法错误的是

（

）

A．

7．若

A．

B．，且，则的值为

（

）

B．

C．2的平方根是

D．是分数

C．

D．

8．下列结论中正确的是

（

）

A．数轴上任一点都表示唯一的有理数;

B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;

C. 两个无理数之和一定是无理数;

D. 数轴上任意两点之间还有无数个点

9．-27 的立方根与的平方根之和是

（

）

A．0

B．6

C．0或-6

D．-12或6

10．下列计算结果正确的是

（

）

A．

二．填空题:

B．

C．

D．

11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、

⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有

__________；无理数的有__________.（填序号）

12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________.

13．算术平方根等于它本身的数是__________；立方根等于它本身的数是__________.

14. 的相反数是__________；绝对值等于的数是__________．

15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.

三、解答题：

16．计算或化简：

(1)

(2)

(3)

(4)

17．已知

(5)

(6)

，且x是正数，求代数式的值。

18．观察右图，每个小正方形的边长均为1，

⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？

⑵估计边长的值在哪两个整数之间。

⑶把边长在数轴上表示出来。

参考答案：

一、选择题：

1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B

二．填空题:

11、①②⑤⑥⑧；③④⑦. 12、

三、解答题：

16、计算或化简：

；0.6. 13、；. 14、；

．

15、3.

(1) (2) (3)

(4) (5)

(6)

17、解：

25x2=144

又∵x是正数

∴x=

∴

18、解：①图中阴影部分的面积17，边长是

②边长的值在4与5之间

③