一元二次方程的根的判别式教学实录及点评

一元二次方程根的判别式教学设计

成都市新都区石板滩镇初级中学

古

程

一、教学内容分析

“一元二次方程的根的判别式”一节，在新教材中是省略内容，但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究一元二次方程的根系关系、二次三项式、二次函数打下重要基础，也为今后在高中学习不等式、二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题，因此补充本节内容是非常必要的。

二、学情分析

“一元二次方程的根的判别式”是在学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对一元二次方程的根的情况已经有所了解的基础上学习的，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触,所以可以通过本节内容的学习，通过学生的动手、动脑，进一步来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。

三、教学目标

（一）知识与技能目标

1、理解一元二次方程的根的判别式的产生的过程，知道所判别的对象是什么；

2、使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别一元二次方程的根的情况；

3、能运用根的判别式，判别一元二次方程的根的情况和进行有关的推理论证；

4、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围。

（二）数学思考

1、通过根的判别式的学习，培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力，进一步培养学生良好的数学习惯；培养学生的探索、创新精神；

2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力；

3、通过根的情况的研究过程，培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性，进一步掌握配方法解决问题，让学生深刻体会转化和分类的思想与方法；

4、通过例题教学，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，发展学生的计算能力与严密的推理能力。

（三）、问题解决

1、不解方程判断一元二次方程根的情况；

2、证明一元二次方程根的情况；

3、已知方程根的情况，求字母的值或取值。

（四）、情感态度与价值观：

1

1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美，进一步激发学生的学习兴趣；

2、加深师生间的交流、合作，增进师生的情感；

3、通过学生的交流与合作，培养学生的协作精神，培养集体主义精神，渗透德育教育。

四、教学重点和难点、关键

教学重点：1、一元二次方程的根的判别式的运用；

2、分类讨论思想与方法的培养

教学难点：1、对一元二次方程的根的判别式的结论的理解；

2、一元二次方程的根的判别式的运用；

教学关键：对一元二次方程的根的判别式定理及其逆定理的使用限制条件的透彻理解。

五、教学方法：

本着“以学生发展为本”的教育理念，充分体现学生的教学主体地位，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动学生学习数学的积极性，培养学生良好的数学习惯。

五、课时安排

本节内容共安排两课时

一元二次方程根的判别式(一) 教学重点和难点

重点：一元二次方程的根的判别式的运用，即：

①、不解方程，判别一元二次方程的根的情况；

②、利用根的判别式进行有关的推理论证。

难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解。

教学过程：

一、创设情境，引入新课

同学们，我们已经学会了怎样准确的解一元二次方程，现在老师这儿还有一手绝招，就是：拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！现在就请同学们可以随便地出两个题考考我，看看老师的这手绝招到底灵不灵！

注：学生会积极参与，这样设计，能很好的激发学生的学习兴趣和积极性，为后面的学习搭建一个良好的学***台。

二、师生互动，课堂探究

（一）提出问题，引发讨论

请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前，必须写出哪两步？为什么要先写这两步？

如：用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上)

2

x2＋10x－7＝0．

解：∵a＝1，b＝10，c＝－7， ①

b2－4ac＝102－4×1×(－7)＝128＞0， ②

注：1、这样设计，能很好的引出知识点，从而很自然地引出了根的判别式概念；培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力，并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。

2、因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下a、b、c的值，这是要先写①的原因；因为一元二次方程不一定有(实数)解，所以有必要先了解一下代数式b2－4ac的值，如果b2－4ac的值是负的，则方程无(实数)解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写②的原因。

(二)新课讲解，解释疑难

1、知识点的讲解

22从上面的解释可见，在一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)中，代数式b-4ac起着重要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号△表示，即：

若△＞0，则方程有两个不相等的实数根；

b若△＝0，则方程有两个相等的实数根x1x2；

2a若△＜0，则方程没有实数根；

这些结论反过来也成立。

注意：运用的前提条件：方程是一元二次方程，即a≠0. 2、知识点的应用

例1、不解方程，判别下列方程根的情况：

(1)2x2＋3x－4＝0； (2)16y2＋9＝24y；

(3)5(x2＋1)－7x＝0； (4)3x2-6x=0 解：(1)∵△＝32－4×2(－4)＝9＋32＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根

(2)原方程变形为：16y2－24y＋9＝0 ∵△＝(－24)2－4×16×9＝576－576＝0 ∴原方程有两个相等实数根

(3)原方程变形为：5x2－7x＋5＝0 ∵△＝(－7)2－4×5×5＝49－100＜0 ∴原方程没有实数根

(4)∵△＝(－6)2－4×3×0＝36＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根

说明：①、教师讲一个，余下学生练习，老师的板书及要求学生作业的写法都按照规范的格式；

②、只要知道△的正负性就可以了，并不需要△的具体值。

练习：1、下列方程有两个不相等的实数根的是（ ）

(A)x22x5 B2x24x230

Cx26x90 D2x23x10

2、已知关于x的二次三项式2x2－mx+3是一个完全平方式，则m= 。

规律小结：

3

1、判断一元二次方程的根的情况,应先确定△的正负性,再作出结论；

2、运用根的判别式时,一定要把方程整理成一元二次方程的一般形式；

3、当b2－4ac=0，且abc≠0时，二次三项式ax2＋bx＋c是完全平方式；

4、规律：①当a、c异号时，Δ>0，方程有两不等实根；

②若b=0，当a与c异号时，Δ>0, 方程有两不等实根；当a与c同号时，Δ<0，方程没有实数根。

③当c=0时，b≠0时Δ＞0, 方程有两不相等实根。

例2．求证：方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 证明：∵m2≥0，则m2＋1≠0 ∴原方程是关于x的一元二次方程

222又 Δ=(-2m)-4(m+1)(m+4) =4m2-4(m4+5m2+4) =-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4) =-4(m2+2)2 22∵ 不论m取任何实数(m+2)>0, ∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ<0. ∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 方法小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤： （1）说明方程是一元二次方程，并计算Δ；

（2）用配方法将Δ恒等变形；

（3）判断Δ的符号

；

（4）结论

。

注：其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下利用配方法变形，从而判定正负，非负等情况。

练习：已知关于x的方程x2－（3k＋1）x＋2k2＋2k=0

求证：无论k取何实数值，方程总有实数根。

（三）知识回顾，课堂小结

1、今天我们是在学习一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。

2、根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况：方程有没有实数根；如果有实根，是两个相等实根，还是不相等实根．

3、运用根的判别式解题时，前提是：方程必须是一元二次方程即：a≠0，运用时必须先把方程化为一元二次方程的一般形式，并认准a，b，c的值．

（四）作业设计

1、已知关于x的一元二次方程mx2nxk0(m0)有两个实数根，则下列关于判别式 n24mk的判断正确的是（ ）

(A) n24mk0

(B)n24mk0

(C)n24mk0 (D)n24mk0

4

2、下列命题中，正确的是（

）

（A）方程5x2=x只有一个实数根

（B）方程x2－8=0有两个相等的实数根

（C）方程2x2－3x＋2=0没有实数根

2（D）当k＞时，方程（k－1）x2＋2x－3=0有两个不相等的实数根

33、不解方程，判断下列方程根的情况：

4mm110 1、2x24x350 2、1 3、x23x2 (4) x2＋2ax＋a－1=0 24、若关于x的一元二次方程x24x2k0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值. 5、设a、b、c是△ABC的三边，求证：方程b2x2－(b2＋c2－a2)x＋c2=0无实数根。

如果关于x的二次三项式k21x2k1x1是一个完全平方式，求k的值。

教学反思：

学生基本能掌握相关知识并能简单运用，但对配方法掌握有困难。

一元二次方程根的判别式(二) 教学过程

一、复习引入

上节课我们学习了一元二次方程根的判别式，现在我们来回忆一元二次方程根的判别式的定义和定理。

二、师生互动，课堂探究

本节课我们继续利用一元二次方程根的判别式来解决问题。

例1、已知关于x的方程2x24k1x2k210，当k取什么值时：

（1）方程有两个不相等的实数根？

（2）方程有两个相等的实数根？

（3）方程没有实数根？

分析：已知了一元二次方程根的情况，就是已知了△具有相应的正负性。

解：

24k1422k1216k28k116k288k9

5

9（1）由△＞0，有8k＋9＞0,得k＞

89∴当k＞，原方程有两个不相等的实数根

89（2）由△＜0，有8k＋9＜0,得k＜

89∴当k＜，原方程有两个不相等的实数根

89（3）由△=0，有8k＋9=0,得k=

89∴当k=，原方程有两个不相等的实数根

82例2、当m取什么值时,关于x的一元二次方程mx－2(m－3)x＋m＋1=0有两个实数根? 分析：题中有两个条件：①、原方程是一元二次方程，则二次项系数不为零；②、有两个实数根，则△≥0 解：∵原方程是一元二次方程

∴m≠0 ∵原方程有两个实数根

∴△≥0 即：

2m34mm104m224m364m24m0

28m369m79且m≠0时，原方程有两个实数根。

7注意：1、隐藏条件：m≠0 2、一元二次方程两个实数根，得到△≥0，不要忘记等号。

议一议：

(1)当m取什么值时,方程mx2－2(m－3)x＋m＋1=0有两个实数根? 2综上，当m≤(2)当m取什么值时,方程mx－2(m－3)x＋m＋1=0有实数根? 说明：1、由方程有两个实数根，可知方程是一元二次方程，因此（1）题与例2完全一致；

2、（2）题只知道方程有实数根，因而不能确定方程的类型，需分类讨论

解:分两种情况: ①当m=0时,原方程变为：6x＋1=0，此时方程有实数根

6 2

②当m≠0时,有△≥0,得 2m34mm104m224m364m24m0

28m369m79且m≠0时，原方程有两个实数根

79综上，当m≤时，原方程有实数根

7说明: 1.运用根的判别式的前提是:方程是一元二次方程,即a≠0 2.要根据条件判断方程是否是一元二次方程,若不能判断,则应分情况讨论

练习：

1、关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是________．

2当m≤2. 若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) (A)k1 (B) k1且k0 (c)k1 (D) k1且k0

3.

关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（

）

A．a≥1

B．a＞1且a≠5

C．a≥1且a≠5

D．a≠5 注意：方程有实数根，则△≥0。（解答题不能用）。

（三）知识回顾，课堂小结

1.判断一元二次方程的根的情况，应先确定△的正负性，再作出结论；已知方程根的情况，就是已知△的正负性，不要搞反了；

2.运用根的判别式时，一定要把方程整理成一元二次方程的一般形式。

3.运用根的判别式的前提是：方程是一元二次方程，即a≠0。

4.要根据条件判断方程是否是一元二次方程，若不能判断，则应分情况讨论。

（四）作业设计

1、方程kx2－6x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围

。

2、若方程（2k－1）x2－4x－6=0无实数根，则k的取值范围

。

3、已知关于x的方程m2x2＋(2m＋1)x＋1=0有两个实数根，求m的取值范围。

7

4、当m为什么值时，关于x的方程(m24)x22(m1)x10有实根。

yx2m;延伸：5、如果方程组

2只有一个实数解，求m的值。

y3x教学反思：

大部分学生基本能掌握知识，并能解决问题，但仍有不少学生：忘记运用的前提条件：a≠0；解不等式出问题；把已知方程根的情况和证明方程根的情况混淆；配方法掌握仍有困难等。

教学创新点：

第二课时的例题设计，例1是一个含有参数的一元二次方程，但二次项系数为常数，例2是一个二次项系数含有参数的一元二次方程，而变式议练，对学生更准确的理解知识点，运用知识分析问题、解决问题起到了很好的作用，这样层层推进，培养学生思维的严密性、逻辑性和灵活性，让学生深刻体会转化和分类的思想方法。

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