阅读与思考　一次方程组的古今表示及解法特级教师教学实录

《一次方程组的古今表示及其解集》教学设计

授课类型：新授课

课时安排：1课时

【教材分析】

一次方程组的古今表示是学生在学习了二元一次方程组及三元一次方程组的基础上，进一步了解一次方程组的表示及解法。其本质为消元思想，从算筹图到方程组到矩阵，让学生感知数学是一个逐渐符号化和发展的过程。

【学生分析】

学生在学习了二元一次方程组及三元一次方程组以后，对消元的思想已有初步认识，对解方程也比较熟悉，此时补充一次方程组的发展史是非常必要的。但是又不能把重点着眼于算筹图和矩阵的表示和计算。算筹图表示较为复杂，学生只需了解，因为数学是发展的。而矩阵是学生大学学习的内容，现在要求学生学和解是要求过高的，不符合学生的现有水平。因此只需感受这样的符号化过程，而不必深究，感受到中华文化的源远流长。

【目标阐述】

知识与技能：

1.

学生能够简单的用矩阵表示方程组并了解其解法本质是消元。

2.

学生能够看算筹图

3.

实物，字母、数字的等符号再简化，感受这数学发展的符号化过程。

过程与方法：

1.从解方程组到剥离系数后的矩阵，这并不是突兀的。

2.算筹图的表示较为复杂，因此从矩阵到算筹图这样的表示，学生易于接受。

情感态度价值观：

1.

在数学的逐渐发展过程中，感受我国古代对数学发展的巨大贡献。

2.在小组合作探究的过程中提升合作的意识和能力。

【教学重难点】

重点：

1、让学生通过一系列方程组变式的求解，了解矩阵表示及求解的缘由。

2、算筹图的表示。

难点：感知矩阵和算筹图表示及解法的符号化过程。

【教学方法】

启发式、参与式、讨论式以及讲练结合式。

【教学过程设计】

一、通过这一章的学习，我们知道含有未知数的等式，叫做方程，并且我们还学习了它的解法。那么在古代，古人是如何表示和求解方程的呢？即将步入大学的我们，高等代数又是如何表示和求解方程组呢？本节课我们将一起历经一次方程组的古今表示及其解法，来感受数学文化的渊源流长，

二：师：先来热个场，来个小比赛。

1、

师：你有什么发现？

生：方程组的解相同

师：为什么解相同？

反思：1.未知数的符号表示_______方程组的解. 2. 一次方程组的解仅与__________有关.

设计意图：

新课程提出“学生是学习的主体”。本节课就为什么剥离系数进行了设计，

而不是强行灌输。

2、小贴士：

用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表. 这种由数排成的表，称为矩阵。

视频：矩阵简介

例2：将方程组排列成矩阵

ìïí3x+y=28ìïí3x+y=28

ïî3x+8y=36ï反过来，将矩阵排列成方程组

î7y=8

骣骣

琪3128琪琪109桫011琪桫011小结：矩阵可以表示一次方程组

3、再认识矩阵

通过一系列的同解变形，我们可以得到下列同解矩阵

师：最后一个矩阵它表示的含义是？

ìïíx=9生：方程组的解îïy=1

师：和刚才的结果是一致的。

小结：矩阵进行变换可以解方程组

例3：

我国古代很早就对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中.《九章算术》的“方程”章，有许多关于一次方程组的内容.这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：

上等谷3束,中等谷2束,下等谷1束,可得粮食39斗. 上等谷2束,中等谷3束,下等谷1束,可得粮食34斗. 上等谷1束,中等谷2束,下等谷3束,可得粮食26斗. 上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗？

师：如何解决这个问题？

生1：解：设每束上等谷可得粮食x斗,中等谷可得粮食y斗,下等谷可得粮食z斗.

生2：师：活学活用哦!

师：下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？

师：先来了解下算筹的表示方法

上等谷

（束）

中等谷

（束）

下等谷

（束）

斗数

师：有什么规律？

生从横式和纵式得到规律

师：算筹简介：用竹制或骨制的小棍，纵式和横式两种摆法.个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替.

师：尝试写写看

生：9 26 34

师：开始的算筹图会看了吗？

生：

骣32139琪琪23134琪琪12326桫师：算筹图就是古人表示一次方程组的工具。九章算术中也记录了相应的解法，关键算法：遍乘直除。最后得到结果

老师也用高等代数的方法进行了求解：

师：一次方程组的古今表示及其解法，你有怎样的认识呢？

设计意图：

鼓励学生主动地对所学知识进行归纳和整理，在头脑中建构出本节课的知识框架，教师再拓展一个实际问题，体现知识迁移的同时也体现了“数学应用于生活”的新课程理念。

总结：从实物的算筹图，到引入字母数字等符号后的方程组，又简化到矩阵，遵

循着同解原理，思想统一：消元，形式一致，这是一个逐步符号化的过程。而我们的祖先掌握这种解法：三世纪，比起欧洲人来十九世纪要早1000多年，这是我国古代数学的一个光辉成就，是一个逐渐进步的发展过程。在信息技术飞速发展的今天，计算机承担了大量复杂的运算，计算机可以很容易的完成解大型方程组的任务，矩阵的优越性可想而知。