1.1.2 平面上的伸缩变换教学活动设计方案

1.1.2平面上的伸缩变换

教学目标：

1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;

2.能够应用平面上伸缩变换的坐标表达式解决有关问题．

教学重点：理解平面直角坐标系中的伸缩变换。

教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题。

授课类型：新授课

教学过程：

一．复习引入

在三角函数图象的学习中，我们研究过下面一些问题：

(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?

(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?

(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?

二．新课讲解

引导, 观察启发

与y=sinx的图象作比较，结论：

（1）设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持纵坐标y不变，将横坐标x11x'x,缩为原来的倍，得到P’（x’，y’）,那么2 ①

2y'y.我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。

（2）设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到P’（x’，y’）,那么x'x, ②

y'3y.我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。

提出问题：怎样由正弦曲线得到曲线y=3sin2x？（它是由①②两种变换合成的）

平面直角坐标系中的任意一点P（x，y），经过上述变换后变为点P’（x’，y’）,那么1x'x,2 ③

y'3y.我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

定义：设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:x'x,(0) y'y(0).④的作用下，点P（x，y）对应到点P’（x’，y’），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

三．例题讲解

例1：

x'3x'1yy2：

'在平面直角坐标系中，已知变换(1)求直线l:y6x经过变换后所得直线 l的方程；

y2变换后所得曲线C'的方程. (2)求双曲线

C:x1经过642

1'xx2y'1y3：变式1：(1)在平面直角坐标系中，已知变换

22C:xy1经过变换后所得曲线

C'的方程.

求圆'xx(2)伸缩变换的坐标表达式

'曲线

C在此变换下变为椭圆

y4y,y'x116，求曲线

C

的方程. '22

引导学生总结与伸缩变换相关问题的处理方法：

1.已知旧方程，求旧坐标，旧坐标往旧方程里代；

2.已知新方程，求新坐标，新坐标往新方程里代.

四.当堂检测

1.将点P(－2,2)变换为P′(－6,1)的伸缩变换公式为

(

)

1x3x1xxxxx3xA.

B.

C.

D.

231yyy2yy3y2y2y2.已知f1(x)sinx,f2(x)sinx（0)f2(x)的图象可以看作把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的A．1倍（纵坐标不变）而得到的，则为（

）

311

B .2

C.3

D.

23x5x3.在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x28y21则曲y3y线C的方程为（

）

A．50x72y1

B. 9x100y1

C．10x24y1

D.

五．课堂小结

知识方面：设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换22222282xy1

259x'x,(0) :y'y(0).④的作用下，点P（x，y）对应到点P’（x’，y’），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

数学思想：数形结合、转化与化归、函数与方程

六．作业布置