三元一次方程组的解法2优质课教案

教学设计

课题名称：第八章 二元一次方程组---《8.4三元一次方程组的解法》 第二课时

姓 名：

学科年级：

何海军

七年级

工作单位：

教材版本：

立山中学

人教版

一、教学内容分析（简要说明课题来源、学习内容、知识结构图以及学习内容的重要性）

本节课是三元一次方程组的第2课时，主要内容是教材中的例2。它是三元一次方程组的简单应用。设置例2的目的一个是将列、解三元一次方程组结合起来，体现用三元一次方程组解决具体问题的过程。另一方面是所列出的三元一次方程组中每一个方程均含有三个未知数，这是和第1课时中的方程组不同的地方，通过解这个方程组巩固三元一次方程组解法的基本思路，进一步明确解三元一次方程组的过程。

二、教学目标（从学段课程标准中找到要求，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度确定该课题预计要达到的教学目标）

【知识与技能】

1、进一步理解三元一次方程组的定义；

2、掌握三元一次方程组的解法；

3、会解简单的三元一次方程组应用题。

【过程与方法】

先运用实际问题引入三元一次方程组的概念，再类比解二元一次方程组的思想方法，学习三元一次方程组的解法，最后学习三元一次方程组应用题。

【情感态度】

让学生学会“举一反三”的学习方法，体会数学的魅力。

三、学习者特征分析（说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备（学习起点），以及学生的学习风格。）

大部分学生对后继知识的学习有较强的欲望，但本节课要解的三元一次方程组与第1课时中出现的例题和习题不同：方程组中的三个方程均含有三个未知数，要通过两次消同一元，才能将三元一次方程组转化为二元一次方程组。学生自学能力较差，不肯主动分析问题、解决问题，同时不善于交流合作学习。

四、教学策略选择与设计（说明本课题设计的基本理念、主要采用的教学与活动策略）

在本节课中为了突出重点，突破难点，我将教学分层次进行，先从一个探究活动开始，本节课的例题是根据已知的三对对应的x，y值，列出关于a，b，c的三元一次方程组，通过解方程组求出a，b，c的值。列出这个方程组很容易，但解这个方程组相比第1课时要复杂一些。通过求解这个三元一次方程组，进一步巩固三元一次方程组的一般解法。

在二次函数的内容中，我们由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上任意三个点的坐标，确定它的系数a，b，c，从而求出二次函数的解析式。对这类问题的求解也要用到三元一次方程组的解法。

为了有效地突出重点、突破难点，本节课我采用以学生自主预习、互助探究、分层提升为主的学习方式，启发学生进行观察、类比、分析，让学生多动手动脑，积极参与到概念的建立，问题求解当中来，使学生的主观能动性得到最大程度的发挥。

五、教学重点及难点（说明本课题的重难点）

教学重点：

三元一次方程组的解法。

教学难点：

如何将三元一次方程组转化为二元一次方程组。

六、教学过程（说明本节课教学的环节、具体的活动、所需的资源支持及其主要环节设计意图）

一、分层学习

1、自学指导：

(1)自学范围：课本例2之前的内容。（2）自学时间：8分钟。（3）自学要求：认真阅读课文，弄清楚解三元一次方程组的基本思路还是消元，通过尝试比较，体会如何选择合理、简便的消元途径。（4）自学参考提纲：

①什么叫三元一次方程组？

②解三元一次方程组的基本思路是什么？常用的方法有哪些？

③按课本上提供的消元思路解方程组，你还有其他的解法吗？试一试。

④仔细阅读例1，体会“分析”是怎样思考找消元思路的，以及如何书写解题过程，其中解消元后的二元一次方程组的详细过程可省略不写，最后尝试解决例题后方框中的问题。

⑤通过解这两个三元一次方程组，对“怎么消元、先消哪个元”你有何感悟或心得？

2、自学：同学们可结合自学指导进行学习。

3、助学：

（1）师助生：

①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况（主要是学习进度、效果及存在的问题等）. ②差异指导：根据学情进行相应指导。

（2）生助生：小组内同学间相互交流研讨、互助解疑难。

4、强化：

（1）解三元一次方程组的基本思路、消元策略和一般步骤。

（2）练习：解下列三元一次方程组

1、自学指导：

（1）自学范围：课本例2. （2）自学时间：5分钟. （3）自学要求：认真阅读课文，先根据题中条件得出关于a、b、c的三元一次方程组，然后分析方程组的特点，找到简便消元途径，进而求出方程组的解。

（4）自学参考提纲：

①例2中解三元一次方程组为什么要先消元未知数c？

②不看例题的解题过程，自己再解一遍这个三元一次方程组，然后再与课本相对照，体会如何书写规范的解题过程。

③若甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的，你能求出这三个数吗? 答案：甲=10，乙=15，丙=10. 2、自学：同学们可结合自学指导进行学习。

3、助学：

（1）师助生：

①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况。

②差异指导：根据学情进行相应指导。

（2）生助生：小组内同学间相互交流、纠错。

4、强化：

（1）解三元一次方程组的基本思路、消元策略和一般步骤。

（2）练习：

在y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=2；当x=2时，y=8；当x=5时，y=158。

（1）求a，b，c的值；（2）求当x=-2时，y的值。

解：（1）根据题意，有

解得

(2)把（1）中a=8，b=-6，c=-12代入y=ax2+bx+c，得y=8x2-6x-12。

当x=-2时，y=8×（-2）2-6×（-2）-12=32。

二、综合提升

1、复习提问

问题1 你能说一下如何解三元一次方程组吗？它的基本思路是什么？

师生活动：教师提出问题，由学生回答，通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组。

【设计意图】让学生回忆解三元一次方程组的基本思路，明确消元思想。

2、例2的教学

例2 在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60，求a，b，c的值．

问题2 根据已知条件，你能得到什么？

师生活动：学生充分读题，教师通过问题串，引导学生求解这个问题。

追问1 对于等式y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0，根据这个条件会得到什么？

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，会得到方程a－b＋c＝0．若学生回答的结果是0＝a－b＋c，应让学生改写一下。

追问2 你还能列出另外两个关于a，b，c的方程吗？

师生活动：学生给出答案4a＋2b＋c＝3，25a＋5b＋c＝60，并列出由这三个方程组成的三元一次方程组

【设计意图】让学生利用求代数式值的方法，根据已知条件列出方程，并组成一个关于a，b，c的三元一次方程组。

问题3 你会解这个方程组吗？如何将这个三元一次方程组转化为二元一次方程组？

师生活动：学生回答用消元的方法将三元一次方程组转化为二元一次方程组。

追问1 先消去哪个未知数？为什么？

师生活动：学生给出答案先消去c，会比较简单。

【设计意图】让学生先认真观察系数特征，再说出先消去c的理由，选择系数的绝对值最小的进行消元。

追问2 如何消去c？

师生活动：学生回答②－①，得a＋b＝1．

④

【设计意图】让学生根据方程组中系数的特征，选择用加减消元法消去c．

追问3 现在得到二元一次方程组了吗？如何得到？

师生活动：学生回答：③－①，得24a＋6b＝60，即4a＋b＝10。

⑤

方程④和⑤可组成一个二元一次方程组。

【设计意图】让学生根据未知数的系数特征，明确如何消元．

问题4 现在你能求出这个二元一次方程组的解吗？能得到三元一次方程组的解吗？

师生活动：在教师的引导下，由学生一步步完成这个三元一次方程组的求解过程．让学生进一步明确解三元一次方程组的过程。要将三个三元一次方程两两组合，经过两次消元，得到两个二元一次方程，解这两个二元一次方程组成的方程组，求出这两个未知数的值，再代回原方程组中的任何一个三元一次方程，求出另外一个未知数的值。

【设计意图】让学生完成求解过程。

问题5 如果还是选择消去c，你有其他的方法吗？

师生活动：学生回答③－②可得21a＋3b＝57，即7a＋b＝19．

⑥

方程④与⑥也可以组成一个二元一次方程组，也可以求出这个三元一次方程组的解。

【设计意图】让学生体会在消元的过程中，三个三元一次方程两两组合，都可以消元得到二元一次方程组，但在计算时会有繁易的区别。

问题6 消去a或b可以吗？如何操作？

师生活动：学生回答可以．若要消去b，可将①×2＋②，得6a＋3c＝3，即2a＋c＝1．再将①×5＋③，得30a＋6c＝60，即5a＋c＝10．若要消去a，可将②－①×4，得6b－3c＝3，即2b－c＝1．再将③－①×25，得30b－24c＝60，即5b－4c＝10。

【设计意图】让学生明确解三元一次方程组时消去哪个未知数都可以得到二元一次方程组，但是消去不同的未知数，在计算时会有繁易的区别．所以，在解三元一次方程组时，要先认真观察各未知数的系数的特征，再确定消去哪个元及如何消元。

3、课上练习

教科书第106页练习第1题第(2)小题。

师生活动：学生写出解这个方程组的过程，教师总结消去系数的绝对值最小的未知数会比较简单。

【设计意图】巩固三个方程均含有三个未知数的三元一次方程组的解法．让学生进一步明确先消哪个元，如何消元。

三、归纳小结

结合例2，你能说说本节课学到了什么吗？

【设计意图】让学生回顾本节课的过程，进一步体会由“三元”到“二元”的转化过程。

四、布置作业

教科书习题8.4第2题第(2)小题，第5题。

五、教学评价设计（创建量规，向学生展示他们将被如何评价（来自教师和小组其他成员的评价）。也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价）

1、学生自我评价与组内评价：学生代表交流学习目标的达成情况及学习的感受等。

2、教师对学生的评价：

（1）表现性评价:教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评. （2）纸笔评价：课堂评价检测. 3、教师的自我评价(教学反思)：

本节课在学习三元一次方程组解法过程中，采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组.根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力.

(时间：12分钟

满分：100分) 一、基础巩固（70分）

2x3y5，1、(20分)对于方程组2xyz6，最优的解法是先消去（

C ）转化为二元一3x2yz2，次方程组. A.x

B.y

C.z

D.都一样

2xy3z3，2、(20分)解方程组3xy2z1，

xyz5.3yz7（1）若先消去x，得到关于y、z的方程组是. 2y5z165xz2（2）若先消去y，得到关于x、z的方程组是. 3x4z8x4y12（3）若先消去z，得到关于x、y的方程组是. 5x3y9通过消元转化为二元一次方程组的过程看，上面的三种方法中第二种比较简便. 3、（30分）解下列三元一次方程组：

y2x7，①（1）5x3y2z2，②

3x4z4；③解：（1）把①代入②，得11x+2z=23.④

x2，3x4z4，③与④组成方程组解得1

z.11x2z23.2把x=2代入①，得y=-3. x2，∴原方程组的解为y3，

1z.24x9y12，①（2）3y2z1，②

197x5z；③4(2)①-②×3，得4x+6z=9.④

197x5z，③与④组成方程组4

4x6z9.3解得x，z2.

4把z=2代入②，得y∴原方程组的解为

3x，45y，

3z2.5. 3

4x9z17，①（3）3xy15z18，②

x2y3z2.③（3）②×2-③，得5x+27z=34.④

x5，4x9z17，①与④组成方程组解得1

z.5x27z34.3x5，把1代入②，得y=-2. z.3∴原方程组的解为

x5，

y2，1z.3二、综合运用（15分）

2x4y3z9，①4.解方程组3x2y5z11，②

5x6y7z13.③解：①+②×2，得8x+13z=31.④②×3-③，得x+2z=5.⑤

8x13z31，x1，④与⑤组成方程组解得

x2z5.z3.x1，1把代入①，得y=. 2z3.x1，1∴原方程组的解为y，

2z3.三、拓展延伸（15分）

5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=-2；当x=-1时，y=20；当x=y的值相等，求a、b、c的值. 31与x=时，23

abc2，abc20，解：根据题意，得三元一次方程组

9a3bc1a1bc.2934a6，解得b11，. c3∴a，b，c的值分别为6，-11，3.

七、板书设计（本节课的主板书。如板书中含有特殊符号、图片等内容，为方便展示，可将板书以附件或图片形式上传。）

8.4 三元一次方程组的解法

一、复习

二、例题讲解

三、学生作业扮演

1、定义

例1 2、思想

3、方法

例2 4、应用

八、教学反思

三元一次方程组的解法2，是学生在具备三元一次方程组解法这一基础知识后的拓展内容。本节课主要内容是学习三元一次方程组的解法，由于三元一次方程组相关知识与二元一次方程组类似，类比迁移，举一反三，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组，并进一步应用于解其他多元一次方程组，同时根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧。本可在教学时，将三元一次方程组的解法通过题目的特点进行归类教学，使学生在学习的过程中注意对基础知识进行提炼、归纳、整理，对基本解法的清晰认识，通过必要的练习，达到掌握基础知识和提高基本技能的目的。

以后教学中应注意以下几点：

1、在预习题的设置上

，尽可能以基础为主，在此基础上，稍有提高。

2、课上研讨的形式尽可能贴近学生，让学生在熟悉的环境中做自己擅长的事，以激发学生们学数学的激情。

3、平时注重学生用准确的语言描述数学图形及相关结论、培养学生的表达能力和归纳总结与概括能力。