命题、定理、证明2教案教学设计

5.3.2命题、定理、证明教学设计

富裕县励志民族中学

卢艳梅

教学目标：

命题的定义及结构

命题的分类

定理与证明(举反例) 重点：命题的概念和区分命题的题设和结论

难点：区分命题的题设和结论。

教学过程：

（一）情境引入

请阅读以下几句话：

（1）具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民

共和国公民. （2）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. （3）无限不循环小数称为无理数. （4）今天要下雨. （5）我们要充满梦想，执着地飞翔. （二）合作探究

知识点1命题的定义及结构

前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的语句，例如：

（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线

也互相平行；

(2) 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；

(3) 对顶角相等；

(4) 等式两边加同一个数，结果仍是等式.

像这样判断一件事情的语句，叫做命题.

命题由题设和结

论两部分组成.

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后

接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.

例如，上面命题(1)中，“两

条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论.

有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它们写成“如

果……那么……”的形式.

例如，命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这

两个角相等”.

例1下列语句中：

(1)

时间都去哪儿了？

(2)

画一条直线的平行线；

(3)

长方形的四个角都是直角；

(4)4不是偶数．命题共有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

分析：紧扣命题的定义进行判断：

(1)是一个疑问句，没有作出判断，所以不是命题；

(2)没有包含判断的意思，所以不是命题；

(3)对一件事情作出了肯定的判断，所以是命题；

(4)对事情作出了否定的判断，所以是命题．

总结：命题是表示判断的语句，它包含有因果关系，一般都是以陈述句的形式展现；其他如疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题．

例2把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．

(1)对顶角相等；

(2)垂直于同一条直线的两条直线平行；

(3)同角或等角的余角相等．

引导：设法把命题的题设和结论部分省略的文字找出来，要从文字的内在顺序、内在意义进行全面考虑，分清命题的题设部分和结论部分；再将它写成“如果…那么…”的形式．

解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．

(2)如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行．

(3)如果两个角是同一个角的余角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等．

总结：

(1)命题改写的原则：不改变命题的原意；为了改写后的语句通畅且保持原意，应适当地增加或删减词语或调换词序；

(2)命题改写的方法：先搞清命题的题设(已知事项)部分和结论部分；再将其改写为“如果……那么……”

的形式：“如果”后面跟的是已知事项，“那么

后面跟的是由已知事项推出的事项(即结论)．

练习：

1、指出下列命题的题设和结论：

(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°; (2)如果∠1=∠2，

∠2=∠3，那么∠1=∠3，; (3)两直线平行，同位角相等. 2、下列语句是命题的是(

) A．延长线段AB到C B．用量角器画∠AOB＝90°

C．同位角相等，两直线平行

D．任何数的平方都不小于0吗？

3、下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③希望明天下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁

内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是

(

) A．①②③

B．①②⑤

C．①②④⑤

D．①②④

4、下列语句中，不是命题的是（

）

A．如果a＞b，那么b＜a

B．同位角相等

C．垂线段最短

D．反向延长射线OA 知识点2命题的分类

命题的种类：

(1)真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这

样的命题叫真命题．

(2)假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，

这样的命题叫假命题．

例3、指出下列命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题．

(1)互为补角的两个角相等；

(2)若：a＝b，则：a＋c＝b＋c；

(3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积

相等．

引导：要指出命题的题设和结论，其实质是指出“如果(若)”和“那么(则)”后面跟的事项；如果命题不是“如果……那么……”的形式，那么需先将命题改写为“如果……那么……”的形式；再指出它的题设和结论；

(2)要判断命题的真假：真命题需说明理由，假命题只需举一反例即可．

总结：

判断命题的真假时，真命题需说明理由；假命题只需举一反例即可；举反例是说明一个命题是假命题的常用方法，而所列举的反例一般应满足命题的题设，不满足命题的结论．

举出学过的2~3个真命题.

知识点3定理与证明

1.

定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理．

2.

证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经

过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。

例4.如图，已知直线b//c，a⊥b

.求证a⊥c.

总结：

证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推出结论的过程．证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、公理，已学过的定理．在初学证明时要把根据写在每一步推理后面的括号里，如本例中的“已知”“等量代换”等．

练习：

1、在下面的括号内，填上推理的根据. 如图，∠A＋∠B=180°，求证∠C＋∠D=180°. 证明：∵∠A＋∠B=180°，

∴AD∥BC(___________________________). ∴

∠C＋∠D=180°(________________________).

2、命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例. 3、下列说法错误的是(

) A．命题不一定是定理，定理一定是命题

B．定理不可能是假命题

BC

C．真命题是定理

D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理

4、能说明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假命题的一个反例可以是(

) A．a＝－2

B．a＝1

3C．a＝1

D．a＝2 5、对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是(

) A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β>∠α

B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α

C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β<∠α

D．两个角互为邻补角

知识小结：

定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：

(1)联系：这四者都是命题．

(2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本

事实是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因

而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．

板书设计：

1、命题的概念

2、命题的结构

3、真、假命题

4、命题的证明与举反例

反思：

本节课通过命题及其证明的学习，让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明。要说一个命题是假命题，可以举反例。同时数学的严谨，初步养成学生言之有理，落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力。