复习题优质公开课教案

第六章

反比例函数

2.反比例函数的图象与性质（二）

一、学生知识状况分析

函数是研究现实世界变化规律的一个重要数学模型，学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等相关知识，对函数的概念和研究函数的方法有了初步的认识和了解．特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步领悟函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图像和性质做好知识上和方法上的铺垫．

二、教学任务分析

《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对k0和k0时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质疑、讨论、交流中增强学生对图象的感知能力，加深对反比例函数y理解和掌握。由此，本节课的教学目标制定如下：

知识与技能目标：

能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质．

提高学生观察、分析能力和对图象的感知水平，领会研究函数的一般要求．

过程和方法目标：

让学生经历知识的探究过程，通过全面的观察和比较，积累数学方法和活动经验．

逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想．

k性质的x

情感、态度和价值观目标：

经历小组合作与交流活动，在质疑、追问、讨论中达成共识，发展合作能力和语言表达能力.

在教学目标的基础上制定如下的教学重点、教学难点：

重点：探索反比例函数的主要性质. 难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题．

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：

第一环节：

要点回顾 铺平道路；第二环节：设问质疑 探究尝试；第三环节：实际运用 巩固新知；第四环节：激趣质疑 再探新知；第五环节：活学活用 巩固提高；第六环节：总结串联 纳入系统；第七环节：分层达标 课后延伸.

第一环节：要点回顾 铺平道路

内容：

1. 下列函数中，哪些是反比例函数？

31211

（2）y

（3）y2

（4）y

（5）y

xxx3xx1232. 你能想到y的图象吗？它是什么形状？有什么特点？y呢？

xx（1）y教学策略：

让学生找出题目中的反比例函数，运用空间想象能力，勾勒出反比例函数y23，y的图象，并回顾每个函数的图象特点，在具体问题中加深对反比xx例函数定义以及图象的再认知．

设计意图：

反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和

对知识的实际运用能力．

第二环节：设问质疑 探究尝试 内容1：试一试

观察反比例函数y246，y，y的图象，你能发现它们的共同特征吗? xxx

(1)函数图象分别位于哪几个象限内？

(2)在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？

(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？

教学策略：

1．本环节的问题串，能有效的激发学生的思考热情，教师要善于运用启发性的语言，调动起学生思维的“小宇宙”．

2．对于问题（2）、（3），教师要给学生留有充分的讨论、交流的时间和空间，让学生对图象进行细致的观察、类比、分析、交流，鼓励学生尽可能多的从图象中获取信息，并对信息进行分析、综合、概括、归纳，形成知识系统．

3．在讨论、交流过程中，教师要指导学生勇于表达自己的想法，善于倾听他人的见解，让讨论在质疑、追问中进行．

设计意图：

本环节意在通过观察三个反比例函数的图象，分析、归纳、概括出反比例函数的主要性质．在问题的设置上，引导学生从对图象的直观观察开始，逐步上升到理性的分析，顺应学生思维的发展，在有效的问题引领下，培养学生的逻辑思维能力和数形结合能力．

内容2：议一议

考察当k=-2，-4，-6时，反比例函数yk的图象，它们有哪些共同特征？

x

教学策略：

前面已经对k0时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全放手给学生，让学生通过类比，分析、归纳、概括出k0时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨．

设计意图：

通过对k0时反比例函数图像特征的探究，培养学生利用数形结合探究问题的意识，发展学生类比分析问题的能力，使学生在知识上更加完善，在能力上逐步提高．

内容3：说一说

你能尝试着说说反比例函数y教学策略：

1．在具体问题探究的基础上，让学生尝试着总结反比例函数y性质，从具体问题的分析进一步上升到理性的概括、归纳．

2．鼓励学生大胆表述自己的想法，语言即使不规范、不完整，教师也要给以充分的肯定、表扬，在讨论、交流的基础上使语言更加完善．

设计意图：

“试一试”、“议一议”已经对反比例函数的图象特征进行了细致的分析，内容3主要是将知识进行了系统的归纳、概括，通过讨论、交流，形成完整、规范的结论，培养了学生的语言表达能力和对知识的归纳、概括能力．

k的图象xk的图象有哪些共同特征吗？

x

第三环节：实际运用 巩固新知

内容：练一练

1.下列函数：①y1317；②y；③y；④y中

xx2xx

（1）图象位于二、四象限的有

；

（2）在每一象限内，y随x的增大而增大的有

；

（3）在每一象限内，y随x的增大而减小的有

．

2. 若函数y范围是

．

3.点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在反比例函数y3的图象上，若x1x20，则xm2的图象在其象限内，y随x的增大而增大，则m的取值xy1,y2的大小关系是

．

变式：

点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在反比例函数y大小关系是

．

教学策略：

1．留有充分的时间，让学生独立完成。在此基础上，小组交流，每名成员完成一个题目的讲解，力争让所有学生都积极地投入到知识的学习中．

2．问题3的变式中蕴含分类讨论思想，教学中让学生独立思考，然后交流各自的想法，关注学生思维的广度和深度．

设计意图：

1.通过几个小题目的练习，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对反比例函数性质的理解．

2.运用变式训练，拓展学生思维的广度，渗透分类讨论的数学思想．

3.课堂上以小组合作讲解的形式，让每个学生都融入到表达与倾听中，调动每个学生的主观能动性，夯实基础．

3的图象上，若x1x2，则y1,y2的x第四环节：激趣质疑

再探新知

内容1：想一想

在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？

（1）让我们从具体的反比例函数y

此时，S1与S2有什么关系？为什么？

（2）对于一般的反比例函数y

教学策略：

1. 给出具体的反比例函数y2，让学生按题目要求，取点、构造矩形S1、x2开始考虑：

xk呢？

xS2，自主探究S1与S2之间的关系，然后由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨．

2．在前面探究的基础上，对于一般的反比例函数yk，可以完全放手给x学生，充分利用小组成员间的合作，探究、归纳、概括出一般性的结论——矩形面积总等于k，教师在整个过程中要给以适时的点拨和及时的总结．

设计意图：

k，对于有些学生来说有一定的困难．为了突破这一x2难点，先给出简单的反比例函数y，在探究了具体函数的基础上，再由特殊xk到一般，进一步探究y，符合学生的认知规律．

x如果直接探究函数y内容2：变一变

在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点P作x轴的垂线，连接PO（O为原点），与坐标轴围成的三角形面积为S1；过点Q作x轴的垂线，连接QO，与坐标轴围成的三角形面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？

教学策略：

将问题直接抛给学生，类比前面探究问题的方法，让学生来寻求解决问题的策略．

设计意图：

通过变式探究，开阔学生的思路，促进学生思维的发展，形成有效的知识建构．

第五环节：活学活用

巩固提高

1．如图，P(x,y)是反比例函数y3的图象在第一象限分支上的一个动点，xPAx轴于点A，

PBy轴于点B，

随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（ ）

A．不变

B.增大

C.减小

D.无法确定

2．如图，P(x,y)是反比例函数y3的图象在第一象限分支上的一个动点，x

过点P作PAx轴于点A，连接PO，则△PAO的面积为

．

3．已知点P(3,2)、点Q(2,a)都在反比例函数yk的图象上.过点P分别x作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是S1；过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是S2.求a、S1、S2的值. 教学策略：

3个题目都比较基础，教师可以让学生独立完成，然后共同交流，总结知识，提炼方法．

设计意图：

巩固所学知识，加深对反比例函数性质的理解．

第六环节：归纳总结

纳入系统

内容：

本节课你学到了反比例函数的哪些新知识? 你有哪些感悟和收获？

你还有想继续探究的问题吗？

你对小组成员有什么评价和建议呢？

教学策略：

引导学生对自己的学习过程进行提炼、反思，从知识上和方法上进行总结．

设计意图：

引导学生关注数学的学习过程，及时总结、反思、交流，同时重视小组内的合作和交流，倾听小组成员的评价、建议，取长补短，共同提高．

第七环节：分层达标

课后延伸

A层：

1.下列函数中，图象位于第一、三象限的有

；在图象所在象限内，y的值

随x的增大而增大的有

．

20.152；（2）y；（3）y；（4）y

3xxx75x12.已知点A（-1，y1）、B（-2，y2）在双曲线y上，则y1

y2(填“>、x(1)

y<或=”）．

B层：

已知点(2,y1)，(1,y2)，(1,y3)，(2,y4)都在反比例函数y1的图象上，比较y1、xy2、y3与y4的大小．

C层：

已知点(2,y1)，(1,y2)，(3,y3)都在反比例函数yk的图象上，比较y1、y2、xy3的大小．

教学策略：让学生根据自身的学习情况，自主选择适合的题目。尽可能当堂反馈检测结果，如果时间不允许，可以课后反馈，但一定要及时．

设计意图：设置不同层次、具有选择性的题目，供不同的学生选择，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”．

作业：

A层：习题1、2

B层：习题3、4 C层：习题5

附：板书设计

反比例函数的图象与性质（二）

一、探究过程

二、性质提炼

结论：

；

三、练一练

结论：

；

四、教学设计反思

1．学生在学习本节课前经历过一次函数图象和性质的探索过程，对函数图象和性质的探究方法有了初步的认识，这些对本节课知识的学习起到了很好的铺垫作用．本节课又不同于研究一次函数，由于反比例函数的图象相对于一次函数图象的特殊性，使得对反比例函数图象和性质的探索过程更加细致、全面．教学设计中，特别注重了比例函数性质的探索过程，通过问题的引领让生更全面的对函数进行观察和比较，给学生创设了充足的讨论时间和空间，鼓励学生用自己的语言对观察和概括的结论进行充分的表达和描述．

2．学生能做的让学生做，学生能说的让学生来说，教学设计中关注了学生主体作用的发挥，教师进行适时的引领和点拨，教学中教师要用鼓动性的语言，激发学生探究的热情，点燃学生学习的激情．

3．本节课学生的参与度较高，教师要了解学生参与活动中情感与智力的参与程度，及时进行多角度的积极评价，帮助学生建立自信，发挥评价的教育功能．