用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程课件配套优秀教案案例

用配方法解一元二次方程

一、教学目标

知识与技能目标: 1、会用直接开平方法解形如：（x+m）2= n(n≥0)的一元二次方程；

2、理解配方法的思想，掌握用配方法解形如x2pxq0的一元二次方程; 3、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。

过程与方法目标: 通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”的数学思想方法。

情感与态度目标：

培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。

二、教学重、难点

教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

教学难点：发现与理解配方的方法。

三、教学方法： 启发—探究式的教学方法。

四、教学准备：

多媒体

五、教学过程

教师活动

学生活动

教学说明

（一）创设情境，设疑引新

在实际生活中，常遇到一些问观看课件，并思考问题

从实际问题出发,让题，需要用一元二次方程来解答。

学生感受到“数学无某小区为了美化环境，将小

处不在”

区的布局做了如下调整：

例1、将一个正方形花园的每解：设原正方形的边长为xm，则有：

学生在原有平方根边扩大2米后，改造成一个面积 （x+2）2=25 ①

的基础上能解方程

为25米2的大花园，那么原来小 x+2=±5

花园的每边长是多少呢？

x1= 5-2=3 教师就一元二次方

x2 =-5-2=-7（不合题意，舍去）

程的有两个根进行

答：原正方形的边长为3米

说明

提问:

(1)、这个方程有什么特点？

它们一边是一个完全平方式，另启发学生观察方程

一边是一个非负数，

的特点

形如：（x+m）2= n

(n≥0)

体会解一元二次方(2)、如何求解？

通过两边开平方，把一元二次方程转程的降次思想

化为两个一元一次方程来解。

教师归纳：

给出直接开平方法形如：（x+m）2= n

(n≥0) 这样的

的概念。

方程，我们可以采用两边直接开平方，

1

（二）、观察比较，探索新知

探究（1）提问：

激发学生的求知欲，1、这样的方程你能解吗？ 不能

感受到问题的存在。

x2+4x+4=25 ②

没有（x+m）2= n (n≥0) 在教学中，先让学生

2、为什么？

独立解题，感受到解

题的困难。然后引导3、那能不能把这个方程化为这样方程的左边是一个完全平方式，可化学生通过观察上述2的形式？怎么化？

为：（x+4）=25 方程中的特点,寻找2

x+4x+4=25 解一元二次方程的

方程可化为： （x+2）2=25 新解法，培养学生的

两边开平方得： x+2=±5 探索精神,并体会方

x1= 3 x2 = -7 程等价转化的数学

思想.

探究（2）提问：

1、这样的方程能解吗？

x2+12x-15=0 ③

引导学生观察前后

两方程的联系找到2、方程③与方程①、方程②有什方程①、方程②的左边是完全平方问题的突破口，依据么不同？

式，而方程③没有这样的形式。

完全平方式进行配

方。

3、那能不能把方程③化成方程①学生陷入思考

给学生充分讨论交流的时间

的形式呢？

在学生的充分讨论后，教师引导：

x2+12x-15=0

给出完整的解法，让a2 + 2 a b+b2 = (a+b)2

学生理解体会配方

方程③的具体解答过程是： 法

2

x+12x=15

222x+12x+6=15+6

222x2x666150

x2+12x+62=51

(x+6)2=51 (x+6)2=51

x+6=±51

x1= -6+51 x2 = -6-51

教师归纳:

配方法：

理解配方法

通过配成完全平方式的方

法,得到一元二次方程的根,这种

求出方程的解，这种方法我们称为直接开平方法。

2

解一元二次方程的方法称为配方

法.

配方的依据：完全平方公式，

归纳出配方法的一般步骤：

用配方法解一元二次方程的步骤：

(三)合作讨论、自主探究

体现从特殊到一般，1.把原方程化成

x2pxq0的下面我们来研究对于一般的方从具体到抽象的思形式。

维过程。

程：x2pxq0

怎样配方？

2.移项整理

得 x2+px=-q

3.在方程 x2+px= -q 的两边同时加

上一次项系数 p的一半的平方

pp

x2+px+( 2 )2 = q()2

2

配方的关键：当方程的二次项系4、用直接开平方法解方程

数为1时，在方程的两边加上一

p2 p2次项系数一半的平方。

q

(x)= 24

2p2ppq

q≥0)

X=-2±4 (4

(四) 随堂练习,巩固深化

练习：

一、用配方法解下列方程

让学生能解一次项(1) x2+8x-9=0

系数分别为偶数、奇(2) x2-x-1=0 学生独立完成

数、和分数时，一元1

二次方程的解法，巩（3）x2-x-3=0

固利用配方法解方22(4) x+2x+2=0 （无解）

程的基本技能。

注意检查学生的掌归纳：

握情况。

解一元二次方程的基本思路：将

方程化为（ x+m）2=n(n≥0)的形

式，两边开平方，便可求出它的

通过学生自己归纳，解。（注：当n＜0时，左边是一

巩固对配方法的掌个完全平方式，右边是一个负数，

握。

因此，方程在实数范围内无解。

(四) 拓展延伸、继续探究

列方程解应用题

3

如图，在一块长35m、宽26m

用配方法解方程的的矩形地面上，修建同样宽的两由学生独立完成

应用,提高学生的解条互相垂直的道路，剩余部分栽

题能力. 种花草，要使剩余部分的面积为

2850m,道路的宽应为多少？

总结：

一元二次方程

（五）课堂总结，提高认识

是

是否可以用

否

教师提问：

通过学生自己的归今天你学到了什么知识？

直接开平方法

纳，巩固对本课知识你能用自己的话说说吗

的掌握。

（学生归纳后教师做归纳）

x2+px+q=0

通过教师的归纳让

学生体会两个转化：

配方：

一是降次的思想；二

（x+m）2= n

(n≥0) 是等价转化的思想

（六）课外作业：

解两个一元

用直接开

基础训练是为巩固1、基础训练：习题

二次方程

平方法

学生对本次课重点

内容的掌握。

2、思考题：

（1）、当二次项系数不为1时的

一元二次方程，例如：

2① 3x+8x-3=0 思考题是为了检查

② 2x2+6=7x 学生对知识的灵活如何用配方法解呢？

运用，同时也为下一

节课做准备

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