2.2.2 圆的参数方程教学实录与评析

2.2.2

参数方程的概念与圆的参数方程

学习目标：

1、了解参数方程的概念，并了解某些参数的几何意义和物理意义。

2、会选择最常见的参数建立简单的参数方程。

3、分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值；

4、培养学生探究问题的兴趣，提高数学的应用意识。

重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程

教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.

教学方法：启发、诱导发现教学. 教学过程：

自学探究 问题1.一架救援飞机在离灾区地面500米的高空以100m/s的速度水平直线飞行，为使救援物资准确的落在灾区指定的地面位置（不记空气阻力）。飞行员应如何确定投放时机？

（1）.由物理知识可知，物资投出机舱后做平抛运动.请写出它在水平方向和竖直方向的位移与时间的函数关系.（以物资抛出机舱的时刻为计时起点）

(2). 取重力加速到为9.8ms2，求出物资落地的时间和此时的水平位移并确定物资投放时间.

问题2．参数方程的概念是什么？

x3t例1.

已知曲线C的参数方程为

(t为参数）2y2t1（1）

判断点M（）,M2(5,4)与曲线C的位置关系. 10,1（2）

点M3(6,a)在曲线C上求a的值.

反思：如何确定点与曲线的位置关系？

例2、关于参数方程与普通方程，下列说法正确的是（

）

①一般来说，参数方程中参数的变化范围是有限制的；

②参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同表达形式；

③一个曲线的参数方程是唯一的；

xf(t)(t为参数)和普通方程F(x,y)0中，自由变量都是只有一个。

④在参数方程yg(t)A、①

② B、②

C、②③

D、①②④

1

圆的参数方程探求

1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。

xrcosyrsin(为参数)这就是圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。

说明：（1）参数θ的几何意义是OM与x轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？

x2cos52、指出参数方程(为参数)所表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。y32sin864P2A-10-5C510-2c1-4-6

3、若如图取

4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。

（二）、应用举例

例3、已知两条曲线的参数方程

[-845:(为参数）和:c1y5sinc2y3tsin450(t为参数）

x5cosx4tcos0（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。

学生练习，教师准对问题讲评。

（二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）

例2、1、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值，

（2）x+y的最值，

（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。

解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为

x3cos由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），

y2sin（1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ +6cosθ=14+2 x2+y2 的最大值为14+2 13，最小值为14- 213

。

13

sin(θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴

(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+2

sin（

θ +

4

）∴ x+y的最大值为5+ 2

，最小值为5 -2

。

2

(3) d3cos2sin12442sin(24)

显然当sin（

θ+

）= 1时，d取最大值，最小值，分别为122，122

.

变式反馈

1、下列各点中，在曲线xsin2ycossin(为参数）上的是(

) A（12，2),

B(34,12),

C(2,3),

D(1,3)

2、曲线x25ty12t(t为参数）与坐标轴的交点是(

) A(0，25),(12，0),

B(0，15),(12，0),

C(0,4),(8,0),

D(0,59),(8,0)

3、方程x2y24tx2ty5t240

(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）

A．一个定点 B．一个椭圆 C．一条抛物线 D．一条直线

x2cos(为参数)4、已知ysin(x5)2(y4)2，则的最大值是 。

5．求曲线x2y22y的一个参数方程。

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