1.2.2 极坐标系与直角坐标的关系教学设计

第1课时

坐标系及直角坐标与极坐标间的互化

课程目标

1.通过实例了解平面直角坐标系的建立与应用,掌握直角坐标系中的伸缩变换,并灵活地进行变换.

2.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用.

3.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.

一、预学

思考：为了得到函数y=2sin

2x的图象,需把函数y=sin

x的图象进行怎样的变换?

问题1:对上述函数图象进行伸缩变换,即先把函数y=sin

x的图象上所有的点沿着x轴缩短到原来的一半,再沿着y轴伸长到原来的2倍,即可得到函数y=2sin

2x的图象.

问题2:平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义,设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换φ:

的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

问题3:极坐标系是如何建立的?点M的极坐标是如何定义的?

在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作

;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取

方向),这样就建立了一个

.

对于平面内任意一点M,用ρ表示点M到极点O的距离,用θ表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作

,θ叫作

,有序数对(ρ,θ)就叫作点M的

,记为

.

问题4:直角坐标与极坐标如何互化?

将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为

;

将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为

.

基础知识

变换后的坐标是(

).

1.直角坐标P(10,5)按照伸缩变换公式

A.P'(10,10)

B.P'(5,10)

C.P'(10,-5)

D.P'(5,5)

2.将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为(

).

A.

B.

C.

D.

3.点P的直角坐标为(-

,

),那么它的极坐标可表示为

.

22

4.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换

后,曲线C:x+y=36变为何种曲线,其曲线

方程是什么?

知识巩固

1、求满足由曲线2x-3y=12变成曲线x-y=1的图形变换的伸缩变换.

2、已知极坐标系中点A(2,

),B(

, ),O(0,0),则△AOB为(

).

A.等边三角形

B.顶角为钝角的等腰三角形

C.顶角为锐角的等腰三角形

D.等腰直角三角形

3、在极坐标系中,点P(2,

)和点Q(4,)之间的距离为

.

2222知识拓展

1、求把椭圆

+ =1变换成圆x+y=64的伸缩变换.

2、在极坐标系中,已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2,

),B(2,π),C(2,

).

(1)判断△ABC的形状;

(2)求△ABC的面积.

3、极坐标平面内两点P(4, )、Q(ρ,-)之间的距离为

,则ρ=

.

22

课后习题

1、在极坐标系中,若点A,B的坐标分别是(2,

)和(3,-

),则△AOB为(

).

A.钝角三角形

C.锐角三角形

B.直角三角形

D.等边三角形

2、将极坐标(6, )化为直角坐标为(

).

A.(-3

,3)

B.(-3

,-3)

C.(-3,-3

)

D.(-3,3

)

3、在极坐标系中,已知两点A,B的极坐标分别为(3,

),(4,

),则△AOB(其中O为极点)的面积为

.

4、在极坐标系中,已知三点M(2,

),N(2,0),P(2

,

).

(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;

(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.

5、

求将椭圆

+

=1变成长轴为12,离心率为

的椭圆的伸缩变换.

考题变式(我来改编):

总结

选修4-4 坐标系与参数方程

第1课时

坐标系及直角坐标与极坐标间的互化

知识体系梳理

问题3:极轴

逆时针

极坐标系

极径

极角

极坐标

M(ρ,θ)

问题4:

基础学习交流

1.B 由

得

-

-

2.C 设伸缩变换为

由

即

得

3.(2,) 利用两坐标系的互化公式可得ρ=

-

=2,

tan θ=-1.因为点P在第二象限,所以取一个极角为.

4.解:设圆x2+y2=36上任一点P(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标

22P'(x',y'),则

代入圆中得4x'+9y'=36,即+=1.故曲

线C在伸缩变换后得到椭圆曲线,曲线方程为+=1.

重点难点探究

探究一:【解析】设变换为

(λ>0,μ>0),将其代入第二

个方程,得到(λx)-(μy)=1,再由2x-3y=12,得到-

2222

=1,所以λ2=,μ2=,因为λ>0,μ>0,所以λ=

,μ

=,所以伸缩变换为

【小结】求满足图形变换的伸缩变换,就是求出其变换公式,需要先设出变换公式为

(λ>0,μ>0),再代入第二个方程与第一

个方程对照,即到关于λ,μ的方程组解出答案即可.

探究二:【解析】根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,将点A、B、O化成直角坐标分别为A(0,2)、B(-1,1)、O(0,0),可以看出△AOB是以∠OBA为直角的等腰直角三角形,故选D. 【答案】D 【小结】若从极坐标很难看出结果,则需要将极坐标转化为直角坐标,然后在直角坐标系中观察得到即可.

探究三:【解析】(法一)用公式

把点P(2,)和点

Q(4,)化为直角坐标分别为P(1,

),Q(-2

,2),由两点间的距离

公式得|PQ|=

-

=2

. (法二)在极坐标系中,已知点P(2,)和点Q(4,),故∠POQ=,所

以|PQ|=

=2

. 【答案】2

【小结】如果极坐标系中的两点确定,那么它们之间的距离也确定,可以把各点极坐标转化为直角坐标,在平面直角坐标系中计算,也可以利用极径、极角的定义和余弦定理、勾股定理在三角形中计算. 思维拓展应用

应用一:设变换为

(λ>0,μ>0),将其代入第二个方程,

得到(λx)2+(μy)2=64,即+

=1,对照椭圆+=1,得

解得

故所求的伸缩变换为

应用二:(1)将A(2,),B(2,π),C(2,A(1,

),B(-2,0),C(1,-

), ∴|AB|=|AC|=|BC|=2

, ∴△ABC为正三角形. )分别化为直角坐标得(2)由上可知△ABC的面积为S=×2

×2

×=3

.

应用三:

或3

根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,得P、Q的直角坐标分别为P(0,-4)、Q(ρ,-ρ).

∴|PQ|=

-

-

=

,解得ρ=

或ρ=3

.

基础智能检测

1.B 由题意知∠AOB=-(-)=,故选B.

所以直角坐标2.C 由公式

得

-

-

-

-

为(-3,-3

),选择C. 3.3 结合图形 △AOB的面积S=OA·OB·sin -)=3.

4.解:(1)将三点坐标代入公式

可知点M的直线坐标为(1,-

),点N的直角坐标为(2,0),点P的直

角坐标为(3,

). 2 ∵kMN==

,kNP==

,

-

-

-

∴kMN=kNP ∴M、N、P三点在同一条直线上. 全新视角拓展

由长轴为12,离心率为,得a=6,c=3,b=3

,所以变换后的椭圆

方程为+=1或+=1.设椭圆+=1上的任意一点P(x,y)经过伸

缩变换

(λ>0,μ>0),变为P'(x',y'),则

代入椭圆

+

=1,得到

+

=1,对照方程得

或

因为

λ>0,μ>0,所以

或

故将椭圆+=1变成长轴为12,

离心率为的椭圆的伸缩变换为

或