阅读与思考　为什么√2不是有理数PPT及课堂实录内容

24．2.1

点和圆的位置关系

1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d

2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．

3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．

4．了解反证法的证明思想．

复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆的结论．接着从这三点到圆心的距离逐渐引入点P到圆心距离与点和圆位置关系的结论，并运用它们解决一些实际问题．

重点

点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．

难点

讲授反证法的证明思路．

一、复习引入

(学生活动)请同学们口答下面的问题．

1．圆的两种定义是什么？

2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？

3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？

4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．

(老师点评)(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．

(2)圆规：一个定点，一个定长画圆．

(3)都等于半径．

(4)经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径．

二、探索新知

由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d，

则有：点P在圆外⇒d>r；

点P在圆上⇒d＝r；

点P在圆内⇒d

反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d＝r⇒点P在圆上；如果d

因此，我们可以得到：

设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，

则有：点P在圆外⇔d>r；

点P在圆上⇔d＝r；

点P在圆内⇔d

下面，我们接着研究确定圆的条件：

(学生活动)经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．

(1)作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？

(2)作圆，使该圆经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？

(3)作圆，使该圆经过已知点A，B，C三点(其中A，B，C三点不在同一直线上)，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？

(老师在黑板上演示) (1)无数多个圆，如图(1)所示．

(2)连接A，B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A，B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．

其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图(2)所示．

(3)作法：①连接AB，BC；

②分别作线段AB，BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；

③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图(3)所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A，B，C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两端点的距离相等)，所以经过A，B，C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

即不在同一直线上的三个点确定一个圆．

也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．

下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．

证明：如图，假设过同一直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1，又在线段BC的垂直平分线l2，即点P为l1与l2交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．

所以，过同一直线上的三点不能作圆．

上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．

在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．

例1 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．

分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．

作法：(1)在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段；

(2)作两线段的中垂线，相交于一点O. 则O就为所求的圆心．图略．

三、巩固练习

教材第95页

练习1，2，3. 四、课堂小结

(学生总结，老师点评) 本节课应掌握：

1．点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则

点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；

点P在圆内⇔d＜r.2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

3．三角形外接圆和三角形外心的概念．

4．反证法的证明思想．

5．以上内容的应用．

五、作业布置

教材第101，102页

习题1，7，8.