3.1平面直角坐标系优秀教学设计

第3章

图形与坐标

3．1

平面直角坐标系

第1课时

平面直角坐标系

1．理解有序数对的意义．

2．能用有序数对表示实际生活中物体的位置．

3．理解平面直角坐标系的相关概念．

4．在给定的平面直角坐标系中，会由点的位置写出点的坐标，由点的坐标确定点的位置．

5．理解每个象限及坐标轴上的点的特征．

重点

有序数对及平面内确定点的方法，平面直角坐标系及相关概念．

难点

利用有序数对表示平面内的点，根据点的位置写出点的坐标．

一、创设情境，导入新课

1．请画一条数轴，并指出它的三要素．

2．说出下列数轴上的点所表示的数．

3．游戏“找朋友”问题：(1)只给一个数据如“第3列”你能确定好朋友的位置吗？(2)给两个数据如“第3列第2排”你能确定好朋友的位置吗？为什么？(3)你认为需要几个数据能确定一个位置？

二、合作交流，探究新知

发现：在教室里排数与列数的先后顺序没有约定的情况下，不能确定参加数学问题讨论的同学的座位，假设约定“列数在前，排数在后”，你能找到参加数学问题讨论的同学的座位吗？

思考：(1)(2，4)和(4，2)在同一个位置吗？(2)如果约定“排数在前，列数在后”，刚才那些同学对应的有序数对会变化吗？

师生归纳：

有序数对：我们把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．

问题：在数轴上已知点能说出它的坐标，由坐标能在数轴上找到对应点的位置．那么数轴上的点与坐标有怎样的关系？

学生阅读课本第83，84页后回答下列问题：(1)说一说组成平面直角坐标系的两条数轴具备什么特征？(2)什么是横轴？什么是纵轴？什么是坐标原点？(3)坐标平面被两条坐标轴分成了哪几个部分，分别对应什么象限？

思考：平面上的点如何表示呢？平面内任意一点P，过点P分别向x，y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，则有序数对(a，b)叫做点P的坐标，记为P(a，b)．

在建立平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应．

三、运用新知，深化理解

例1 如图是某教室学生座位的平面图：

(1)请说出王明和陈帅的座位位置；

(2)若用(3，2)表示第3排第2列的位置，那么(5，5)表示什么位置？王明和陈帅的座位位置可以怎么表示？

(3)请说出(3，3)和(4，8)分别表示哪两位同学的座位位置；

(4)(3，4)和(4，3)表示的位置相同吗？一般地，若a≠b，(a，b)与(b，a)表示的位置相同吗？

【分析】平面上确定物体的位置有多种方法，但基本上都需要两个数据，本题可以通过排数和列数来确定位置，即先确定有序实数对的第1个数，再确定第2个数．

解：(1)王明的座位位置是第1排第2列；陈帅的座位位置是第5排第4列；

(2)(5，5)表示的位置是第5排第5列；王明的位置可表示为(1，2)，陈帅的位置可表示为(5，4)；

(3)(3，3)表示张军的座位位置；(4，8)表示夏凡的座位位置；

(4)(3，4)表示的位置是第3排第4列，(4，3)表示的位置是第4排第3列，它们表示的位置不相同．一般地，若a≠b，(a，b)与(b，a)表示的位置不相同．

【方法总结】用有序实数对来描述物体的位置，其中“有序”是指若a≠b，a与b的前后顺序不同，描述的位置一般不同．例如题中的(3，4)和(4，3)表示不同的两个位置．“数对”是指必须由两个数才能确定某点的位置．

例2 下列是平面直角坐标系的是(

) A.

B.

C. D.

【分析】根据平面直角坐标系的定义来判断．平面直角坐标系由x轴(横轴，取向右为正方向)、y轴(纵轴，取向上为正方向)和原点O(x轴与y轴的交点)组成．A选项中没有标明x轴、y轴；B选项中x轴、y轴的正方向取错了；D选项中x轴与y轴标反了．故选C. 【方法总结】识别平面直角坐标系时要紧扣定义，抓住其中的要点，与数轴的三要素相参照．

例3 已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是(

) A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(1，2) 【分析】由点P到x轴的距离为2，可知点P的纵坐标的绝对值为2，又因为垂足在y轴的负半轴上，则纵坐标为－2；由点P到y轴的距离为1，可知点P的横坐标的绝对值为1，又因为垂足在x轴的正半轴上，则横坐标为1.故点P的坐标是(1，－2)．故选B. 【方法总结】本题的易错点有三处：①混淆距离与坐标之间的区别；②不知道与“点P到x轴的距离”对应的是纵坐标，与“点P到y轴的距离”对应的是横坐标；③忽略坐标的符号出现错解．若本例题只已知距离而无附加条件，则点P的坐标有四个．

例4 设点M(a，b)为平面直角坐标系内的点．

(1)当a>0，b<0时，点M位于第几象限？

(2)当ab>0时，点M位于第几象限？

(3)当a为任意有理数，且b<0时，点M位于第几象限？

【分析】(1)横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限；(2)由ab>0知a，b同号，则点M在第一或第三象限；(3)b<0，则点M在x轴下方．

解：(1)点M在第四象限；

(2)可能在第一象限(a>0，b>0)或者在第三象限(a<0，b<0)；

(3)可能在第三象限(a<0，b<0)或者第四象限(a>0，b<0)或者y轴负半轴上．

【方法总结】熟记各象限内点的坐标的符号特征：(＋，＋)表示第一象限内的点，(－，＋)表示第二象限内的点，(－，－)表示第三象限内的点，(＋，－)表示第四象限内的点．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P86练习．

2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

回顾本节课所学的主要内容，回答以下问题：

1．什么是平面直角坐标系？

2．平面直角坐标系中一个有序数对可以确定一个点的位置，它与数轴上一个实数确定一个点的位置有什么区别？

3．平面直角坐标系内点与坐标之间有什么关系？

六、布置作业

1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．

2．教材P89习题3.1第1～3题．

第2课时

平面直角坐标系的简单应用

1．了解用平面直角坐标系和方位角来表示地理位置的意义．

2．掌握建立适当的直角坐标系和方位角描述地理位置的方法．

重点

利用坐标表示地理位置．

难点

建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．

一、创设情境，导入新课

教师出示教材P86的图片：这是某中学校区平面示意图，你知道怎样建立适当的平面直角坐标系，用坐标来表示校门、图书馆、花坛、体育场、教学大楼、国旗杆、实验楼和体育馆的位置吗？

二、合作交流，探究新知

今天我们来学习如何用坐标系表示地理位置，首先我们来探究以下问题：

问题1：如何建立平面直角坐标系呢？以何参照点为原点？如何确定x轴、y轴？

问题2：如何选比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？

可以以正东方向为x轴，以正北方向为y轴建立平面直角坐标系，画出平面直角坐标系，标出校门的位置，即(0，0)．

问题3：选取校门所在位置为原点，并以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向有什么优点？

教师适当引导后得出结论：

(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

教师继续出示问题：你认为利用平面直角坐标系描述地理位置时应注意哪些问题？(1)注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的“适当”，通常是比较明显的地点或是所要绘制的区域内较居中的位置；(2)坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致；(3)要注意标明适当的单位长度；(4)有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称．(同学可举例说明)若以国旗杆所在位置为原点建立平面直角坐标系，则各处建筑坐标会发生变化吗？试写出此时各点坐标．

在日常生活中，除了用平面直角坐标系刻画物体间的位置关系外，有时还可借助方向和距离来刻画两物体的相对位置．

如图：李亮家距学校1000 m，如何用方向和距离来描述李亮家相对于学校的位置？反过来，学校在李亮家什么位置？ 李亮家在学校北偏西60°方向上、距学校1000 m的位置．学校在李亮家南偏东60°方向上、距李亮家1000 m的位置．

结论：用一个角度和一个距离也可以表示一个点的位置．这个角度(方位角)和这个距离统称方位坐标．

三、运用新知，深化理解

例1 如图是某公园景点的平面图(比例尺为1∶10000)，请建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示各建筑的位置．

【分析】根据“利于点的坐标表示”的原则，选广场为原点比较适当，其他各地与广场的水平距离和垂直距离都相对较小．

解：如图，以广场为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系．测量出碰碰车距广场的图上距离为1.5 cm，根据比例尺实际距离为150 m，以1 m为一个单位长度，图中各地的坐标为广场(0，0)，打靶场(－150，75)，钓鱼台(－75，225)，碰碰车(0，150)，动物馆(75，225)．

【方法总结】利用平面直角坐标系，绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内描出这些点，确定出各点的坐标和各个地点的名称．注意：在构建直角坐标系时，一般选水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，或向东为x轴正方向，向北为y轴正方向．

例2 如图所示是小明家附近的简单地图. 已知OA＝2 cm，OB＝2.5 cm，OP＝4 cm，C为OP的中点．回答下列问题(“O”处表示小明家)：

(1)图中到小明家距离相等的是哪些地方？

(2)图中商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么位置？

【分析】首先根据图形确定方向，然后再在对应射线上确定距离．

解：(1)学校和公园；

(2)图中商场在小明家北偏西30°方向2.5 cm处，学校在小明家北偏东45°方向(或东北方向)2 cm处，公园在小明家南偏东60°方向2cm处，停车场在小明家南偏东60°方向4 cm处．

【方法总结】(1)用方向和距离表示物体位置时必须选定一个统一的参照物，同时也要一对数，这对数是相对于参照物的方位和距离；(2)用方向和距离确定物体位置时要考虑方向在前、距离在后的顺序．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P88～89练习．

2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

1.利用平面直角坐标系描述地理位置时应注意哪些问题？

(1)注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的“适当”，通常是比较明显的地点或是所要绘制的区域内较居中的位置；(2)坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致；(3)要注意标明适当的单位长度；(4)有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称．

2．方位角经常运用在航海中描述船及参照物的位置．

六、布置作业

1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．

2．教材P90习题3.1第4～6题．