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勾股定理的应用

教案

和田市五中——阿依布拉克

教学目标：

1.知识与技能：能运用勾股定理的数学模型解决现实世界中实际问题。

2.过程与方法：通过从实际问题中抽象出直角三角形这一数学模型，初步掌握转化与数形结合的数学思想方法。

3.情感，态度，价值观：使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、用数学的意识,体会勾股定理的文化价值。

教学的重点与难点：

1.重点：运用勾股定理解决数学和实际问题

2.难点：把实际问题转为数学问题，利用勾股定理解决

教学方法：

教师引导，学生自主，合作探究的学习方法；

教学用具：

多媒体课件，纸板做的正方体、长方体和圆柱；

教学过程

（一）创设情境，激趣引新

师：前面，我们已经学习了勾股定理。那么，有没有同学记得勾股定理的内容是什么？用几何语言怎么描述的呢？

生1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么

a2b2c2师：好的，那我们先来看看这样一个例题：

师：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

B

1

3

5

A

①学生取出彩色纸自制楼梯，尝试从A点到B点画出几条路线。

思考:哪条路线最短? ②将楼梯侧面展开展成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么?你画得对吗? ③蚂蚁从A点出发，想吃到B点处的食物，它沿楼梯侧面爬行的最短路线是什么? 思路点拨:引导学生在自制的楼梯侧面上寻找最短路线，提醒学生将楼梯侧

面展开成长方形，引导学生观察分析发现“两点之间的所有线中，线段最短”。

（二）引导操作，探究新知

例2 如图所示,圆

柱体的底面直径为6cm,高AC为12cm,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程.(π取3）

师：同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）

师：如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?

师：蚂蚁从A点出发，爬行到B，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）

师：我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).

我们不难发现，刚才几位同学的走法：

(1)A→A′→B； (2)A→B′→B；

(3)A→D→B； (4)A—→B.

哪条路线是最短呢？你画对了吗？

第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”. （多媒体展示）

（三）应用新知，体验成功

变式1 有一圆形油罐底面圆的周长24m，高为6m，一只蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处，它爬行的最短路线长为多少？

A B

变式2 如果圆柱换成棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点需要的最短路程又是多少呢？

能力提升

如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？

[师生共析] 通过变式练习加深学生对勾股定理和转化思想的理解与运用，同时引入分类讨论思想，这个环节主要让学生尝试把立体图形转化为平面图形，构成直角三角形利用勾股定理解决问题，培养了学生大的动手实践能力和合作探究能力，同时培养学生的空间概念和把未知问题转化为已知问题来解决的化归思想。

（四）小结提升，知识升华

本节课你学会了什么？谈谈你的收获？

1.转化思想的应用

（立体图形

转化为

平面图形）

2. 得到最短路线的依据是平面内两点之间线段最短

3 .构造出直角三角形

，从而利用勾股定理进行计算

（多媒体展示）

（五）作业布置，分层落实

1.阅读并思考：书本第30页

2.必作题:课本38页复习题17第2，12,13题。

3.选作题: 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？

B

0.2

0.3

2

A

师：作业1,2是必做题，其中作业2必须花时间去思考，这是勾股定理在实际生活中的应用，是我们要重点讨论的内容；作业3是选做题，一些学有余力的同学可以去完成，也可以找我请教。

板书设计：

17.1.2理的应用

1.勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么

屏幕

学生版演

变式1

变式2

变式3 a2b2c22.立体几何中的最短路线

台阶问题

圆柱问题

正方体问题

④长方体问题