3.1.2 概率的意义教学设计(第一课时)

3.1.2概率的意义

教学目标：

1.正确理解概率的意义；利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 2.通过对现实生活中的“掷币”、“游戏的公平性”、“彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法. 3.通过对概率的实际意义的理解,体会知识来源于生活并应用于生活,进而体会数学与现实世界的联系. 教学重点：

理解概率的意义. 教学难点：

用概率的知识解释现实生活中的具体问题. 教学方法：

讲授法

课时安排

1课时

教学过程：

一、导入新课：

生活中,我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为70%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”

概率的定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率 稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。

频率与概率的有什么区别和联系？

①

频率是随机的，在实验之前不能确定； ②

概率是一个确定的数，与每次实验无关；

③

随着实验次数的增加，频率会越来越接近概率。

④

频率是概率的近似值，概率是用来度量事件发生可能性的大小

二、新课讲解：

1、概率的正确理解：

（1）有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5,那么连续抛掷一枚硬币两次,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗？

学生讨论：这种说法是错误的，抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，它是大量试验得出的一种规律性结果，对具体的几次试验来讲不一定能体现出这种规律性，在连续抛掷一枚硬币两次的试验中，可能两次均正面向上，也可能两次均反面向上，也可能一次正面向上，一次反面向上。通过具体的试验可以发现有三种可能的结果：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上,一次反面朝上”,而且其概率分别为0.25,0.25,0.5。

（2）若某种彩票准备发行1000万张，其中有1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中奖概率是多少？买1000张的话是否一定会中奖？

学生讨论：买彩票中奖的概率为1/1000，是指试验次数相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有1/1000的彩票中奖。不一定中奖，因为买彩票是随机的，每张彩票都可能中奖也可能不中奖，因此,1 000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖.

师总结：

概率的意义

随机事件在一次实验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：即随着实验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率。

概率是从数量上反应随机事件发生的可能性大小的一个数学概念，它是对大量重复实验来说存在的一种统计规律性，对单次试验来说，某随机事件发生与否仍是随机的。

2. 游戏的公平性 大家有没有注意到在乒乓球、排球等体育比赛中，如何确定由哪一方先发球？

在乒乓球比赛中,裁判员有时也用数名运动员伸出手指数的和的单数与双数来决定谁先发球,其具体规则是：让两名运动员背对背站立,规定一名运动员得单数胜,另一名运动员得双数胜,然后裁判员让两名运动员同时伸出一只手的手指,两个人的手指数的和为单数,则指定单数的运动员得到先发球权,若两个人的手指数的和为双数,则指定双数胜的运动员得到先发球权,你认为这个规则公平吗？

规则是公平的. 在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的。是否公平只要看获胜的概率是否相等。

体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的。

探究

某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，1班必须参加，另外再从2至12班中选一个班，有人提议用如下方法：掷两个骰子得到

的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？

1点

2点

3点

4点

5点

6点

3.决策中的概率思想

如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点.你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么? 利用刚学过的概率知识我们可以进行推断,如果它是均匀的,通过试验和观察,可以发现出现各个面的可能性都应该是1点

2点

3点

4点

5点

6点

2

3

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3

4

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12

1110,从而连续10次出现1点的概率为()≈0.000 000 001 66653 8,这在一次试验(即连续10次投掷一枚骰子)中是几乎不可能发生的.而当骰子不均匀时,特别是当6点的那面比较重时(例如灌了铅或水银),会使出现1点的概率最大,更有可能连续10次出现1点. 现在我们面临两种可能的决策:一种是这枚骰子的质地均匀,另一种是这枚骰子的质地不均匀.当连续10次投掷这枚骰子,结果都是出现1点,这时我们更愿意接受第二种情况:这枚骰子靠近6点的那面比较重.原因是在第二种假设下,更有可能出现10个1点. 如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的

可能性最大”可以作为决策的准则,例如对上述思考题所作的推断.这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一. 如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大,那么判断正确的可能性也最大.这种判断问题的方法称为似然法.似然法是统计中重要的统计思想方法之一. 练习1：在做掷硬币的实验的时候，若连续掷了100次，结果100次都是正面朝上，对于这样的结果你会有什么看法？

练习2：在一个不透明的袋子中有两种球，一种白球，一种红球，并且这两种球一种有99个，另一种只有1个，若一个人从中随机摸出1球，结果是红色的，那你认为袋中究竟哪种球会是99个？

4. 天气预报的概率解释

“天气预报说昨天降水概率为70%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”学了概率后,你能给出解释吗？

天气预报的“降水”是一个随机事件,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为70%”的天气预报是错误的. 若某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%，你认为下面两个解释哪一个能代表气象局的观点？

（1）明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨；

（2）明天本地有70%的机会下雨。

学生讨论：（1）显然是不正确的，因为70%的概率是说降水的概率，而不是说70%的区域降水。正确的选择是（2）。

降水概率的大小只能说明降水可能性的大小，概率值越大只能表示在一次试验中发生的可能性越大。在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的。

小结：概率在实际问题中的应用

（1）概率与公平性的关系：

利用概率解释游戏规则的公平性，判断实际生活中的一些现象是否合理。

（2）概率与决策的关系：

在“风险与决策”中经常会用到统计中的极大似然法：在一次实验中，概率大的事件发生的可能性大。

（3）概率与预报的关系：

在对各种自然现象、灾害的研究过程中经常会用到概率的思想来进行预测。

5.实验与发现

阅读课本的内容了解孟德尔与遗传学. 奥地利遗传学家（G.Mendel,1822—1884）用豌豆进行杂交试验,下表为试验结果（其中F1为第一子代,F2为第二子代）：

性状

种子的形状

茎的高度

子叶的颜色

豆荚的形状

F1的表现

全部圆粒

全部高茎

全部黄色

全部饱满

圆粒5 474 高茎787 黄色6 022 饱满882 F2的表现

皱粒1 850 矮茎277 绿色2 001 不饱满299 圆粒∶皱粒≈2.96∶1

高茎∶矮茎≈2.84∶1

黄色∶绿色≈3.01∶1

饱满∶不饱满≈2.95∶1

孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件,其可能性为100%,另一种性状的可能性为0,而第二子代对于前一种性状的可能性约为75%,后一种性状的可能性约为25%,通过进一步研究,他发现了生物遗传的基本规律.实际上,孟德尔是从某种性状发生的频率作出估计的.

三、例题讲解：

例1：为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾. 试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数. 分析：学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即2 000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比,特别是500尾中带记号的有40尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概率为40,问题可解. 5002000. ①

n解：设水库中鱼的尾数为n,A={带有记号的鱼},则有P(A)=因P(A)≈40， ②

500200040由①②得,解得n≈25 000.

n500所以估计水库中约有鱼25 000尾. 例2：足球射门与概率

如果你是一名足球运动员，在足球比赛中若遇到罚点球射门时，这时若要罚进不仅仅要靠运气，还要靠智慧的头脑。首先假设不存在射飞或射高的情况。在扑对方向的前提下守门员也不会失误或脱手，也不考虑补射的情况（点球大战中根本不存在）。就是说球只有两种状态：射进或被扑出。球员射门有六个方向：中下、中上、左下、右下、左上、右上。而作为守门员，扑球有5种选择：不动、左下、右下、左上、右上。

若（1）不动可扑出中下和中上的两个方向的点球；

（2）左下可扑出左下和中下；

（3）右下可扑出右下和中下；

（4）左上可扑出左上；

（5）右上可扑出右上。

你会用你智慧的大脑运用概率的知识选择射门的方向吗？

解：其中（1）（2）（3）3种选择可扑出两个方向的来球，换言之，这3种选择的效率是其他两种选择的2倍。所以作为一个守门员，面对一个没有经验的对手，扑球应该多选择（1）（2）（3）。那么如何做一个有经验的射手呢？如果你面对的是一个初级的守门员，那么应该清楚他的扑球方向是大致随机的，即随机选择（1）~（5）。那么从下图可知6个射门方向被堵住的可能性是：

所以这种情况下我们要少打中下，其他五个方向可以任意选择。但如果守门员是一名富有经验的高手，他清楚（1）（2）（3）的效益是（4）（5）的两倍，他必然会有意识地多扑（1）（2）（3），而且至少概率是（4）（5）的两倍（否则就不能体现这个效益），就是说8次扑救中（1）（2）（3）各两次，（4）（5）各一次。那么6个射门方向被堵住的概率就变成了：

现在不仅不能射中下，而且还要有意识地多打两个上角，因为进球的概率是。希望这道题目能对你的点球大战有所帮助。当然在实战中还要综合考虑脚法、力量、体能、守门员技术及对手心理等等。

实践挑战：

某商场为迎接国庆举办新产品问世促销活动，方式是买一份糖果摸一次彩，摸彩的器具是绿、白两色的乒乓球，这些乒乓球的大小和质料完全相同。商场拟按中奖率1％设大奖，其余99％为小奖。为了制定摸彩的办法，商场向职工广泛征集方案，对征集到的

优秀方案进行奖励。如果你是此商场职工，你将会提出怎样的方案？

注：商场提供的摸彩器具是棱长约30cm的立方体形木箱，密封良好，不透光，木箱上方可容一只手伸入，另备足够多的白色乒乓球和少量绿色乒乓球。

活动：学生积极讨论，各抒己见；教师在旁引导点评。

四、课堂练习：

教材第118页练习：1、2、3、

五、课堂小结：

概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。

通过以上例题与练习可以感到，数学特别是概率正越来越多地应用到我们的生活当中。它们已经不是数学家手中的抽象理论，而成为我们认识世界的工具。

从彩票中奖到证券分析，从基因工程到法律诉讼，从市场调查到经济宏观调控，概率无处不在。

六、课后作业：

习题3.1A组2、3. 概率小故事

概率论的产生,还有一段名声不好的故事.17世纪的一天,保罗与著名的赌徒梅尔赌钱,他们事先每人拿出6枚金币,然后玩,约定谁先胜三局谁就得到12枚金币.比赛开始后,保罗胜了一局,梅尔胜了两局,这时一件意外的事中断了他们的赌博.于是,他们商量这12枚金币应该怎样合理地分配.保罗认为,根据胜利的局数,他自己应得总数的1,即4枚金币,梅尔应得总数的32,即8枚金币.但精通赌博的梅尔认为他赢的可能性大,所以他应该得到全部的金币,于是他3们请求数学家帕斯卡评判.帕斯卡得到答案后,又求教于数学家费尔马.他们的一致裁决是:保罗应分得3枚金币,梅尔应分得9枚金币. 试问：

1.你知道数学家帕斯卡和费尔马当时各自是怎样考虑和解决的吗？

2.你对数学家帕斯卡和费尔马了解多少？

思路:帕斯卡是这样解决的:如果再玩一局,或是梅尔胜,或是保罗胜.如梅尔胜,那么他可以得到全部的金币(记为1),如果保罗胜,那么两人各胜两局,应各得金币的一半(记为1).由于这一2局中两人获胜的可能性相等,因此梅尔得金币的可能性应是两种可能性大小的一半,记梅尔为(1+1311)÷2=,保罗为(0+)÷2=.所以他们各得9枚和3枚金币. 2424

帕斯卡1623—1662法国

费尔马1601—1665法国

费尔马是这样考虑的:如果再玩两局,会出现四种可能的结果:(梅尔胜,保罗胜)；(保罗胜,梅尔胜)；(梅尔胜,梅尔胜)；(保罗胜,保罗胜).其中前三种结果都是梅尔取胜,只有第四种结果

才能使保罗胜,所以梅尔取胜的概率为31,保罗取胜的概率为.因此梅尔应得9枚金币,而保44罗应得3枚金币.这和帕斯卡的答案一致.

帕斯卡和费尔马还研究有关这类随机事件的更一般的规律,由此开始了概率论的早期研究工作.