2.1.2 向量的几何表示优秀公开课教案

向量的几何表示

学习目标

1.通过实际问题,要求学生理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量等概念.

2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

合作学习

一、设计问题,创设情境

问题1:你能否举出一些既有大小又有方向的量?

问题2:生活中有没有只有大小没有方向的量?请举例.

二、学生探索,尝试解决

同学们小组讨论,你是怎么想的? 三、信息交流,揭示规律

1.向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量.

问题3:数学中,定义概念后,通常要用符号表示它.怎样把你举例中的向量表示出来呢? 2.向量的表示方法: (1)用

表示;

(2)用字母

表示;

(3)用有向线段的起点与终点字母:

;

(4)向量错误！未找到引用源。的大小——长度称为向量的模,记作

.

问题4:向量和数量的区别是什么?

.有向线段:

,三个要素:

.

问题5:向量与有向线段的区别是什么?

4.零向量、单位向量概念: (1)长度为0的向量叫

.

(2)长度为1个单位长度的向量,叫

.

四、运用规律,解决问题

【例1】(1)与零向量相等的向量必定是什么向量? (2)与任意向量都平行的向量是什么向量?

【例2】一架飞机从A处向正南方向飞行200km,另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km,两架飞机的位移相同吗?分别用有向线段表示两架飞机的位移.

五、变式演练,深化提高

练习:说出下图中各向量的模,并指出其中的单位向量(小方格为1).

1

让一个小组编题,另一个小组给出解答,调动同学们的积极性.

六、反思小结,观点提炼

请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?你还有其他什么收获?

布置作业

课本P77习题2.1A组第1,2,3题.

参考答案

一、设计问题,创设情境

问题1:力、速度、加速度——既有大小又有方向.

问题2:功、速率、体积、温度——只有大小没有方向.

三、信息交流,提示规律

2.(1)有向线段

(2)a,b

(3)错误！未找到引用源。

(4)|错误！未找到引用源。|

问题4:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向、大小,具有双重性,不能比较大小.

3.带有方向的线段叫做有向线段

起点、方向、长度

问题5:(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.

4.(1)零向量

(2)单位向量

四、运用规律,解决问题

【例1】零向量

零向量

【例2】解:位移是向量.虽然这两个向量的模相等,但是它们的方向不同,所以两架飞机的位移不相同.两架飞机位移的有向线段表示分别为图中的有向线段a与b.

五、变式演练,深化提高

练习:解:其中的单位向量是错误！未找到引用源。.

|错误！未找到引用源。|=2错误！未找到引用源。,|错误！未找到引用源。|=2错误！未找到引用源。,|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。,|错误！未找到引用源。|=3,|错误！未找到引用源。|=3,|错误！未找到引用源。|=3.

相等向量与共线向量

学习目标

1.掌握平行向量、相等向量、共线向量等概念;会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2

2.认识现实生活中的平行向量和相等向量.

3.培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

合作学习

一、设计问题,创设情境

问题1:满足什么条件的两个向量是相等向量?

问题2:有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?

二、学生探索,尝试解决

问题1: 问题2: 三、信息交流,揭示规律

1.相等向量定义:

向量叫相等向量.

问题3:单位向量相等吗?

2.共线向量的定义及与平行向量的关系: 平行向量也叫做共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).

说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

问题4:如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这时它们是不是平行向量?

四、运用规律,解决问题

【例1】(1)平行向量是否一定方向相同?(

) (2)不相等的向量是否一定不平行?(

) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(

) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(

) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(

) (6)两个非零向量相等的条件是什么?(

) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(

) 【例2】下列命题正确的是(

) A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

【例3】如图,设O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)与向量错误！未找到引用源。长度相等的向量有多少个? (2)是否存在与向量错误！未找到引用源。长度相等、方向相反的向量?

3

五、变式演练,深化提高

练习:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.

(1)向量错误！未找到引用源。是共线向量,则A,B,C,D四点必在一直线上; (2)单位向量都相等; (3)四边形ABCD是平行四边形当且仅当错误！未找到引用源。

(4)一个向量方向不确定当且仅当模为0; (5)共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.

六、反思小结,观点提炼

请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?你还有其他什么收获?应该注意哪些事项?

布置作业

课本P78习题2.1A组第5,6题.

参考答案

一、设计问题,创设情境

问题1:等长同向的两个非零向量是相等向量,我们规定,零向量=零向量.

问题2:平行或共线.

三、信息交流,揭示规律

1.长度相等且方向相同

问题3:单位向量不一定相等,只有在同向的情况下,才相等.

问题4:由相等向量的定义可以知道,向量是自由向量,平移后依然是平行向量.

四、运用规律,解决问题

【例1】解:(1)不一定

(2)不一定

(3)零向量

(4)零向量

(5)平行向量

(6)长度相等且方向相同

(7)不一定

【例2】解析:由于零向量与任一向量都共线,所以A项不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B项不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D项不正确;对于C项,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C项.

答案:C 【例3】(1)11个

(2)存在

五、变式演练,深化提高

练习:解:(1)不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量错误！未找到引用源。在同一直线上.

(2)不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.

(3)(4)正确.

(5)不正确.如图错误！未找到引用源。共线,虽起点不同,但其终点却相同.

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5