2.1.2 向量的几何表示课程导入及其完整教案

高中数学人教A版必修4第二章《2.1.2 向量的几何表示》

1教学目标

1、了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2、通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 2学情分析

学生学习习惯较好

3重点难点

理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 4教学过程

4.1第一学时

4.1.1教学活动

活动1【导入】教学过程

一、情景设置: 如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? 二、新课学习: (一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量

(二)请同学阅读课本后回答:(可制作成幻灯片) 1、数量与向量有何区别? 2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?[来源:学。科。网] 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?

5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系? (三 )探究学习

1、数量与向量的区别 : 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: ; ④向量

的大小――长度称为向量的模,记作| |. 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行. 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. 6、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说

明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2 )零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关). 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可

以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. (四)理解和巩固: 例1 书本86页例1. 例2判断: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量) (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 例3下列命题正确的是(

)

A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量 a与b不共线,则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C. 例4 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量

、

、

相等的向量. 变式一:与向量长度相等的向量有多少

个?(11个)

变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?( ) 课堂练习: 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.

①向量

与

是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;

②单位向量都相等;

③任一向量与它的相反向量不相等;

④四边形ABCD是平

行四边形当且仅当 =

⑤一个向量方向不确定

当且仅当模为0;

⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量

、

在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.

④、⑤正确.⑥不正确.如图

与

共线,虽起点不同,但其终点却相同.[来源:学科网] 2.书本88页练习

三、小结 : 描述向量的两个指标:模和方向. 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 向量的图示,要标上箭头和始点、终点. 四、课后作业:

书本88页习题2.1第3、5题

2.1平面向量的实际背景及基本概念

课前预习学案

一、预习目标

通过阅读教材初步了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 二、预习内容

(一)、情景设置: 如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? (二)、新课预习:

1、向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量

2、请同学阅读课本后回答:(可制作成幻灯片) 数量与向量有何区别? 如何表示向量? 有向线段和线段有何区别和联系?分别可以

表示向量的什么? 长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量? 满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?这时各

向量的终点之间有什么关系? 三、提出疑惑

同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1、通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 二、学习过程

1、数量与向量的区别? - 2.向量的表示方法?

①

②

③

④向量

的大小――长度称为向量的模,记作

。

3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:

。

向量与有向线段的区别: (1)

。

(2)

。

4、零向量、单位向量概念: ①

叫零向量,记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②

叫单位向量. 说明:零

向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义: ①

叫平行向量;②我们规定0与

平行. 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. 6、相等向量定义: 叫相等向量。

说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为

(与有向线段的起点无关). 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 三、理解和巩固:

例1 书本86页例1.

例2判断: (1)平行向量是否一定方向相同? (2)不相等的向量是否一定不平行? (3)与零向量相等的向量必定是什么向量? (4)与任意向量都平行的向量是什么向量? (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量? (6)两个非零向量相等的当且仅当什么? (7)共线向量一定在同一直线上吗? 例3下列命题正确的是(

)

A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

的四顶点

C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

例4 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量

、变式一:与向量长度相等的向量有多少个? 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量? 变式三:与向量共线的向量有哪些? 课堂练习: 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.

①向量

与

是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;

②单位向量都相等;

③任一向量与它的相反向量不相等;

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当 =

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;

⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 2.书本88页练习

课后练习与提高

1.下列各量中不是向量的是(

) A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度

相等的向量.

、

2.下列说法中错误的是(

) A.零向量是没有方向的

B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行

D.零向量的方向是任意的

3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段

B.一段圆弧

C.圆上一群孤立点

D.一个单位圆

4.已知非零向量 ,若非零向量 ,则

与

必定

. 5.已知

、

是两非零向量,且

与

不共线,若非零向量

与

共线,则

与

必定

. 6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则

一、情景设置: 如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? 二、新课学习:

(一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量

(二)请同学阅读课本后回答:(可制作成幻灯片) 1、数量与向量有何区别? 2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?[来源:学。科。网] 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系?

(三 )探究学习

1、数量与向量的区别 : 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示;

②用字母a、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: ; ④向量

的大小――长度称为向量的模,记作| |. 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行. 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. 6、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说

明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2 )零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关). 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可

以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. (四)理解和巩固:

例1 书本86页例1. 例2判断:

(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量) (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 例3下列命题正确的是(

)

A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

的四顶点

C.向量 a与b不共线,则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C. 例4 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量

、

、

相等的向量. 变式一:与向量长度相等的向量有多少

个?(11个) 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?( ) 课堂练习: 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.

①向量

与

是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;

②单位向量都相等;

③任一向量与它的相反向量不相等;

④四边形ABCD是平

行四边形当且仅当 =

⑤一个向量方向不确定

当且仅当模为0;

⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量

、

在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.

④、⑤正确.⑥不正确.如图

与

共线,虽起点不同,但其终点却相同.[来源:学科网] 2.书本88页练习

三、小结 : 描述向量的两个指标:模和方向. 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 向量的图示,要标上箭头和始点、终点. 四、课后作业:

书本88页习题2.1第3、5题

2.1平面向量的实际背景及基本概念

课前预习学案

一、预习目标

通过阅读教材初步了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 二、预习内容

(一)、情景设置: 如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? (二)、新课预习:

1、向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量

2、请同学阅读课本后回答:(可制作成幻灯片)

数量与向量有何区别? 如何表示向量? 有向线段和线段有何区别和联系?分别可以

表示向量的什么? 长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量? 满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?这时各

向量的终点之间有什么关系? 三、提出疑惑

同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1、通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 二、学习过程

1、数量与向量的区别? - 2.向量的表示方法? ①

②

③

④向量

的大小――长度称为向量的模,记作

。

3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:

。

向量与有向线段的区别: (1)

。

(2)

。

4、零向量、单位向量概念: ①

叫零向量,记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②

叫单位向量. 说明:零

向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义: ①

叫平行向量;②我们规定0与

平行. 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. 6、相等向量定义:

叫相等向量。

说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为

(与有向线段的起点无关). 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 三、理解和巩固:

例1 书本86页例1. 例2判断:

(1)平行向量是否一定方向相同? (2)不相等的向量是否一定不平行? (3)与零向量相等的向量必定是什么向量? (4)与任意向量都平行的向量是什么向量? (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量? (6)两个非零向量相等的当且仅当什么? (7)共线向量一定在同一直线上吗? 例3下列命题正确的是(

)

A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

的四顶点

C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

例4 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量

、变式一:与向量长度相等的向量有多少个? 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量? 变式三:与向量共线的向量有哪些? 课堂练习: 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.

①向量

与

是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;

②单位向量都相等;

③任一向量与它的相反向量不相等;

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当 =

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;

⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 2.书本88页练习

课后练习与提高

1.下列各量中不是向量的是(

) A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度

2.下列说法中错误的是(

)

相等的向量.

、

A.零向量是没有方向的

B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行

D.零向量的方向是任意的

3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段

B.一段圆弧

C.圆上一群孤立点

D.一个单位圆

4.已知非零向量 ,若非零向量 ,则

与

必定

. 5.已知

、

是两非零向量,且

与

不共线,若非零向量

与

共线,则

与

必定

. 6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则