2.1.3 相等向量与共线向量教学目标

《平面向量基本定理》教学设计

瓮安中学 饶承庆

三维目标

【知识与技能】

1．了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；

2．掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念，会初步求解简单的二向量夹角问题，会根据图形判断两个向量是否垂直。

3．培养学生作图、判断、求解的基本能力。

【过程与方法】

1．经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法；

2．通过本节学习，让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法，体会求解一些比较简单向量夹角的方法。

【情感态度与价值观】

通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会数形结合思想。

重点难点

【教学重点】

1. 平面向量基本定理及其意义；

2．两个向量夹角的简单计算；

【教学难点】

1. 平面向量基本定理的理解及其应用；

2．向量夹角的判断。

教学过程

一、知识回顾

1．

向量加法的三角形法则和平行四边形法则；

rrrrrr2．

向量共线定理：a//b的充要条件是存在唯一实数使得ba(a0)．

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二、讲授新课

(一)问题探究

rrr问题1：

已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，

怎样表达？

rrurururur问题2：

已知平面内的两个向量e1、e2不共线，a为此平面内一向量，a能用向量e1、e2表示吗？

ure2

ur

e1

（学生活动，教师引导）

ra

rururr思考： 1 如果向量a与e1共线、a与e2共线，怎样表达？

（相互讨论、交流，学生单独回答）

urur

2

如果向量e1与e2共线，怎样表达？

（相互讨论、交流，学生单独回答）

ururur3

平面内的两个向量e1、e2不共线，此平面内的任意一个向量是否都可以用e1、ure2表示？

（二）归纳定理

1 归纳

urur 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面ururrr内的任一向量a，有且只有一对实数x，y，使axe1ye2.

定理说明：

urur(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不唯一，关键是不共线；

ururr(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

rurru(4) 基底给定时，分解形式唯一. x，y是被a，e1、e2唯一确定的数量. 2 思考

判断下列说法是否正确

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（1）在平面内只有一对基底；

（2）在平面内有无数对基底；

（3）零向量不可作为基底；

（4）平面内不共线的任意一对向量,都可作为基底. （三）例题讲解

uuuruuuuuurrD是BC边上的一个四等分点，例1 如图，在VABC中，试用基底AB，AC表示AD.

A

C

B

D

【课堂练习】如图，梯形ABCD中，AB//CD，AB2CD，M、N是DC，BA中uuuruuurrruuuruuurruuurr点，ADa，ABb，试以a，b为基底表示DC，BC，MN.

D

M

C

ra

A

思考：

rN

b

B

问题1

在向量加法一节中，曾经学习过求轮船的实际速度的方向，那里是用轮船的实际速

度与水流速度的夹角来确定。这对你有何启示？

问题2 对于平面内不共线的两个向量，怎样描述它们的位置关系呢？

（引导学生思考，给出向量夹角概念）

说明：

1

两向量的夹角必须是在向量同起点或同终点的前提下得到；

2

两向量同向时规定向量夹角为0，反向时为180；

3

若两向量夹角为90，称两向量垂直（正交）.

uuuruuur例2 在等边VABC中，设向量AB与BC的夹角为，则___. rrrrrruuuur【课堂练习】已知|a||b|2，且a与b夹角为60，则ab与a的夹角是_______，

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rrrab与a的夹角是_________. 四 课堂小结

（1）平面向量基本定理及应用；

（2）夹角的概念；

（3）特殊到一般、数形结合数学思想的运用。

五 课堂作业

ururrururrururrr（1）已知e1、e2不共线，ae12e2，be1e2且a，b是一组基底，求实数的取值范围。

（2）已知等腰VABC中，ABAC，点D是BC边的中点，BAC80。

uuuruuur①求向量AB与向量DA的夹角；

uuuruuur②向量DA与向量BC是什么关系？说明理由。

urur六 课后思考：教材93页图2.3-2中，如是使e1e2会出现什么情况？

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