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同角三角函数的基本关系

【知识梳理】

同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即π其中α≠kπ＋k∈Z. tan_α2sin α＝cos α【常考题型】

题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值

12【例1】

(1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. 134(2)已知cos α＝－，求sin α和tan α. 512252[解]

(1)cos2α＝1－sin2α＝1－13＝13，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－5sin α12，tan α＝＝－. 13cos α543－2＝2，

(2)sin2α＝1－cos2α＝1－554因为cos α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，

53sin α33当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；当α是第三象限角时，sin α＝－，5cos α45sin α3tan α＝＝. cos α4【类题通法】

已知三角函数值求其他三角函数值的方法

(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α，求得cos α的值，再由公式tan α＝sin α求得tan α的值．

cos α(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α，求得sin α的值，再由公式tan α＝sin α求得tan α的值．

cos αsin α(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，cos α求得cos α＝±1m，sin α＝±的值．

1＋m21＋m2【对点训练】

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4已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．

3解：由tan α＝sin α44＝，得sin α＝cos α，①

cos α33又sin2α＋cos2α＝1，②

169由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 925344又α是第三象限角，故cos α＝－，sin α＝cos α＝－. 535题型二、化切求值

【例2】

已知tan α＝3，求下列各式的值．

4sin α－cos α(1)；

3sin α＋5cos αsin2α－2sin α·cos α－cos2α(2)；

4cos2α－3sin2α31(3)sin2α＋cos2α. 424tan α－14×3－111[解]

(1)原式＝＝＝；

3tan α＋53×3＋514tan2α－2tan α－19－2×3－12(2)原式＝＝＝－；

234－3tan2α4－3×3232131sinα＋cos2αtan2α＋4242(3)原式＝＝2

22sinα＋cosαtanα＋131×9＋4229＝＝. 409＋1【类题通法】

化切求值的方法技巧

asin α＋bcos αasin2α＋bsin αcos α＋ccos2α(1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同csin α＋dcos αdsin2α＋esin αcos α＋fcos2α除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．

(2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．

【对点训练】

已知tan α＝2，求下列各式的值：

2sin α－3cos α(1)；

4sin α－9cos α(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2

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2sin α－3cos α2tan α－32×2－3解：(1)＝＝＝－1. 4sin α－9cos α4tan α－94×2－9(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α

4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝，

sin2α＋cos2α这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．

因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，

4tan2α－3tan α－54×4－3×2－5则4sinα－3sin αcos α－5cosα＝＝＝1. tan2α＋14＋122题型三、化简三角函数式

【例3】

化简tan α1－1，其中α是第二象限角．

sin2α[解]

因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 故tan α＝tan α＝1－1＝tan αsin2α1－sin2α

sin2αcos2αsin αcos α＝·

sin2αcos αsin αsin α－cos α·

cos αsin α＝－1. 【类题通法】

三角函数式化简技巧

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．

【对点训练】

sin θ－cos θ化简：(1)；

tan θ－1(2) sin2θ－sin4θ，θ是第二象限角．

sin θ－cos θsin θ－cos θsin θ－cos θ解：(1)＝＝＝cos θ. sin θtan θ－1sin θ－cos θ－1cos θcos θ(2)由于θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0，

故sin2θ－sin4θ＝sin2θ1－sin2θ＝sin2θcos2θ＝|sin θcos θ|＝－sin θcos θ. 题型四、证明简单的三角恒等式

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【例4】

求证：tan αsin αtan α＋sin α＝. tan α－sin αtan αsin αtan2α－sin2αtan2α－tan2αcos2α[证明]

法一：∵右边＝＝＝tan α－sin αtan αsin αtan α－sin αtan αsin αtan2α1－cos2αtan2αsin2αtan αsin α＝＝＝左边，

tan α－sin αtan αsin αtan α－sin αtan αsin αtan α－sin α∴原等式成立．

tan αsin αsin α法二：∵左边＝＝，

tan α－tan αcos α1－cos αtan α＋tan αcos α1＋cos α1－cos2αsin2αsin α右边＝＝＝＝＝，

tan αsin αsin αsin α1－cos αsin α1－cos α1－cos α∴左边＝右边，原等式成立．

【类题通法】

简单的三角恒等式的证明思路

(1)从一边开始，证明它等于另一边；

(2)证明左、右两边等于同一个式子；

(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．

【对点训练】

1＋2sin θcos θ1＋tan θ证明：＝

cos2θ－sin2θ1－tan θsin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θ证明：∵左边＝

cos θ＋sin θcos θ－sin θsin θ＋cos θ2＝

cos θ＋sin θcos θ－sin θcos θ＋sin θcos θcos θ＋sin θ1＋tan θ＝＝＝

cos θ－sin θcos θ－sin θ1－tan θcos θ＝右边，

∴原等式成立．

【练习反馈】

π3，π，sin α＝，则cos α等于(

) 1．已知α∈254A.

51C．－

7

4B．－

53D.

5π3，π且sin α＝，

解析：选B

∵α∈25www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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∴cos α＝－1－sin2α＝－2．若α为第三象限角，则A．3

C．1

3241－＝－. 55cos α2sin α＋22的值为(

) 1－sinα1－cosαB．－3 D．－1 cos α2sin α解析：选B

∵α为第三象限角，∴原式＝＋＝－3. －cos α－sin α13．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为________．

21解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝，解得sin 43αcos α＝. 83答案：

82sin α－cos α4．若tan α＝2，则的值为________．

sin α＋2cos α2sin α－cos αcos α2tan α－12×2－13解析：原式＝＝＝＝. 4sin α＋2cos αtan α＋22＋2cos α3答案：

41－2sin 130°cos 130°5．化简：

. sin 130°＋1－sin2130°sin2130°－2sin 130°cos 130°＋cos2130°解：原式＝

sin 130°＋cos2130°＝＝|sin 130°－cos 130°|

sin 130°＋|cos 130°|sin 130°－cos 130°＝1. sin 130°－cos 130°www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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