复习参考题板书设计及意图

课题：解三角形应用举例

一、教材分析

本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。

二、教学目标

1、知识与技能

①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义

②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）

2、过程与方法

①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架

②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用

3、情感态度价值观

①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值

②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力

三、教学重点、难点

1、重点：①实际问题向数学问题的转化②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法

2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定

四、教学方法与手段

本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。

五、典例分析

1.某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好3 km，那么x的值为(

) A.3

C．23或3 [答案] C [解析] 如图，△ABC中，AC＝3，BC＝3，∠ABC＝30°，

由余弦定理得，AC＝AB＋BC－2AB·BC·cos∠ABC，

∴3＝x＋9－6x·cos30°，∴x＝3或23.

2．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶2222B．23 D．3 D处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是(

) A．201＋3m 3B．201＋D．30m 3m 2C．20(1＋3)m [答案] A

[解析] 如图所示，四边形CBMD为正方形，而CB＝20m，所以BM＝20m. 又在Rt△AMD中，

DM＝20m，∠ADM＝30°， 20∴AM＝DMtan30°＝3(m)，

3203∴AB＝AM＋MB＝3＋20＝201＋m. 333．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西，另一灯塔在船的南75°西，则这艘船的速度是每小时(

) A．5海里 C．10海里 [答案] C [解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，5求得AB＝5，∴这艘船的速度是＝10(海里/小时)．

0.5B．53海里

D．103海里

4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(

)km.(

) A．a C．2a [答案] D [解析]

依题意得∠ACB＝120°.

由余弦定理

B.2a

D.3a

AC2＋BC2－AB2cos120°＝

2AC·BC∴AB＝AC＋BC－2AC·BCcos120°

12222＝a＋a－2a－＝3a

2∴AB＝3a.故选D. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是(

) A．102海里 C．202海里 [答案] A [解析] 如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，

B．103海里

D．203海里

222BC20由正弦定理得＝，∴BC＝102，故选A. sin30°sin45°5．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(

) A．1 C．2cos10°

[答案] C [解析] 如图，BD＝1，∠DBC＝20°，∠DAC＝10°，

B．2sin10°

D．cos20°

在△ABD中，由正弦定理得∴AD＝2cos10°.

1AD＝，

sin10°sin160°6．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(

) A．103m C．2030m [答案] A [解析] 设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，B．1003m D．30m AD＝30，∴DB＝30，DC＝103，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝300，

∴BC＝103. 7．在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m．(

) A．237 C．247 [答案] A [解析]

如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝100，∠DAC＝15°，

∵AC＝B．227 D．257 DC·sin45°sin15°，

∴AB＝AC·sin60°

＝100·sin45°·sin60°

sin15°100×＝23×22≈237.∴选A. 6－248．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km. [答案] 302

[解析] 如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在三角形AMB

60BM中，由正弦定理得＝，

sin45°sin30°解得BM＝302(km)．

9．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x

m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________. [答案] 106

3[解析] 由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝x10106180°－75°－45°＝60°，∴＝，∴x＝. sin45°sin60°3(理)(2011·洛阳部分重点中学教学检测)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为________．

[答案] 3

2[解析] 由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ＝QR，不妨设其长度为1.在Rt△POQ2OP中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ，在△OPR中，由正弦定理得＝，在△ORQsin120°sin∠ORP1OQOQ3中，＝，两式两边同时相除得＝tan∠OPQ＝. sin30°sin∠ORQOP2

10.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，观察点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的2时间比B地晚秒．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A17地测得最高点H的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒) 2[解析] 由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－×340

17＝x－40，

在△ABC内，由余弦定理：|BC|＝|BA|＋|CA|－

2|BA|·|CA|·cos∠BAC，

即(x－40)＝x＋10000－100x，解得x＝420. 22222

在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°＋15°＝45°，

∠CHA＝90°－30°＝60°，

|CH||AC|由正弦定理：＝，

sin∠CAHsin∠AHCsin∠CAH可得|CH|＝|AC|·＝1406. sin∠AHC答：该仪器的垂直弹射高度CH为1406米. 六、精讲精练

11.在△ABC中，角A、B所对的边长为a、b，则“a＝b”是“acosA＝bcosB”的(

) A．充分不必要条件 C．充要条件 [答案] A [解析] 当a＝b时，A＝B，

∴acosA＝bcosB；

当acosA＝bcosB时，

由正弦定理得sinA·cosA＝sinB·cosB，

∴sin2A＝sin2B，

∴2A＝2B或2A＝π－2B，

π∴A＝B或A＋B＝. 2则a＝b或a＋b＝c. 所以“a＝b”⇒“acosA＝bcosB”，

“acosA＝bcosB”

⇒/

“a＝b”，故选A. 222B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

x2y2→→12．设F1、F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P在双曲线上，若PF1·PF2＝0，ab→→|PF1|·|PF2|＝2ac(c为半焦距)，则双曲线的离心率为(

) A.3－1 2B.D.3＋1

25＋1

2C．2 [答案] D [解析] 由条件知，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，根据双曲线定义得：4a＝(|PF1|－|PF2|)＝|PF1|＋|PF2|－2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|－4ac＝4c－4ac，

∴a＋ac－c＝0，∴1＋e－e＝0，

222222222222

∵e>1，∴e＝5＋1. 2C1→→→→(理)如图，在△ABC中，tan＝，AH·BC＝0，AB·(CA＋22→CB)＝0，经过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为(

) A.5＋1 2B.5－1 5－1

2C.5＋1 [答案] A →→[解析] ∵AH·BC＝0，∴AH⊥BC，

D.C14AH∵tan＝，∴tanC＝＝＝，

223CH2C1－tan2→→→又∵AB·(CA＋CB)＝0，∴CA＝CB，

∴tanB＝tan2tan2C180°－C＝cotC＝2＝AH，

22BH3设BH＝x，则AH＝2x，∴CH＝x，AB＝5x，由条件知双曲线中2C＝AH＝2x,2a＝AB－2BH＝(5－1)x，

∴e＝＝ca25－1＝5＋1，故选A. 213．△ABC的周长是20，面积是103，A＝60°，则BC边的长等于________．

[答案] 7 1bcsin60°＝103 ②[解析] 由已知得2b＋c－acos60°＝ ③2bc222a＋b＋c＝20

①

由③得b＋c－a＝bc，结合①知

(20－a)－2cb－a＝bc④ 又由②得bc＝40，代入④得a＝7. 14.如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一轮船正向南航行，在B处测得小岛22222A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

[解析] 在△ABC中，BC＝30，

B＝30°，∠ACB＝135°，

∴∠BAC＝15°.

由正弦定理知＝，

sinAsinB即30AC＝. sin15°sin30°30sin30°＝60cos15°＝60cos(45°－30°)

sin15°BCACAC＝＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)(海里)．

于是，A到BC所在直线的距离为：

ACsin45°＝15(6＋2)×2＝15(3＋1)≈40.98(海里)．

2它大于38海里，所以船继续向南航行，没有触礁的危险．

15．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB＋bcosA＝2a. (1)求；

(2)若c＝b＋3a，求B. [解析] (1)由正弦定理得，sinAsinB＋sinBcosA＝2sinA，即sinB(sinA＋cosA)＝2sinA. 故sinB＝2sinA，所以＝2. (2)由余弦定理知c＝b＋3a，得cosB＝由(1)知b＝2a，故c＝(2＋3)a. 122可得cosB＝，又cosB>0，故cosB＝，所以B＝45°.

22七、巩固提高

1．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)且在[－3，－2]上是减函数，α、222222222222222baba＋3a. 2cβ是锐角三角形的两个内角，则f(sinα)与f(cosβ)的大小关系是(

) A．f(sinα)>f(cosβ) B．f(sinα)

[答案] A

[解析] ∵f(x＋1)＝－f(x)，

∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2，

∵f(x)在[－3，－2]上是减函数，

∴f(x)在[－1,0]上是减函数，

∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上是增函数，

∵α、β是锐角三角形内角，∴πππ<α＋β<π，∴>α>－β>0，222π∴1>sinα>sin－β＝cosβ>0，

2∴f(sinα)>f(cosβ)．

ππ2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ≤)的图象上的两个相邻的最高点221和最低点的距离为22，且过点(2，－)，则函数f(x)＝________. 2ππ[答案] sin(x＋) 26[解析] 由题知两个相邻的最高点与最低点的距离为22，f(x)max－f(x)min＝2，结合图象由勾股定理可得＝2T222ππ2－2＝2，故周期T＝4，ω＝＝，

4211又函数f(x)过点(2，－)，所以sin(π＋φ)＝－，

22πππ又因为－≤φ≤，所以φ＝，

226ππ所以函数f(x)的解析式为f(x)＝sin(x＋)．

26π→→3．在△ABC中，B＝，且BA·BC＝43，则△ABC的面积是________．

3[答案] 6 π→→[解析] 由已知得BA·BC＝accos＝43，

3所以ac＝83，

所以△ABC的面积

S＝acsinB＝×83×12123＝6. 2→→4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC边的中点，且AD·BC12＝(a－3ac)，则角B＝________. 2

[答案] 30°

→→→→→→→→→[解析] ∵AD·BC＝(BD－BA)·BC＝BD·BC－BA·BC

a12＝·a－a·c·cosB＝a－ac·cosB

22→→12又AD·BC＝(a－3ac)，

2∴cosB＝3，∴B＝30°.

25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c. π(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为3，求a，b的值；

3(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．

π[解析] (1)∵c＝2，C＝，

3∴由余弦定理c＝a＋b－2abcosC

得a＋b－ab＝4. 1又∵△ABC的面积为3，∴absinC＝3，∴ab＝4. 2a＋b－ab＝4，联立方程组ab＝4，2222222

解得a＝2，b＝2. (2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，

得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，

即2sinBcosA＝2sinAcosA，

∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，

当cosA＝0时，∵0

π∴A＝，△ABC为直角三角形；

2当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，

即△ABC为等腰三角形．

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．