2.1.2 向量的几何表示优质课教学设计

2.2.1

向量加法运算及其几何意义

学习目标

1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.

知识点一

向量加法的定义及其运算法则

分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，

这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的. (2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果.

思考1

从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？

思考2

上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？

梳理

(1)向量加法的定义

求________________的运算，叫做向量的加法. (2)向量求和的法则

→→已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作AB＝a，BC＝b，→则向量________叫做a与b的和，记作________，即a＋b＝AB→＋BC＝________. 向量求和的法则

平行四边形法则

这种求向量和的方法，称为向量加法的________法则. 对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＝________ 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线________就是a与b的vvvvvv和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的________________法则

三角形法则

向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义. 知识点二

向量加法的运算律

思考1

实数加法有哪些运算律？

→→思考2

根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律.(注：AB＝a，AD＝b)

→→→思考3

根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律.(注：AB＝a，BC＝b，CD＝c)

梳理

向量加法的运算律

交换律

结合律

a＋b＝________ (________)＋c＝a＋(________)

类型一

向量加法的三角形法则和平行四边形法则

例1

如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.

(1)

(2)

反思与感悟

向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系. 区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和. 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半. 跟踪训练1

如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量. →→→→(1)OA＋OC＝________；(2)BC＋FE＝________；

→→(3)OA＋FE＝________.

类型二

向量加法运算律的应用

例2

化简：

→→→→→(1)BC＋AB；(2)DB＋CD＋BC；

→→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.

反思与感悟

(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加. →→→——→→(2)向量求和的多边形法则：A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.特別地，当An和A1重合→→→——→时，A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1A1＝0. →→→→跟踪训练2

已知正方形ABCD的边长等于1，则|AB＋AD＋BC＋DC|＝________.

类型三

向量加法的实际应用

例3

在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 引申探究

1.若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？

2.若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值.

反思与感悟

向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键. 跟踪训练3

如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)

→→→1.如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于(

)

A.0

→C.AD

→B.BE

→D.CF

2.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是(

)

→→→A.FD＋DA＋DE＝0

→→→B.AD＋BE＋CF＝0

→→→→C.FD＋DE＋AD＝AB

→→→→D.AD＋EC＋FD＝BD

→→→→→3.(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM等于(

) →→→→A.BC

B.AB

C.AC

D.AM

→→→4.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则四边形为(

)

A.矩形

B.正方形

C.平行四边形

D.菱形

5.小船以103 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为________km/h.

1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则. 2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行. 3.使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.

答案精析

问题导学

知识点一

→思考1

后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线OC

表示的力→→是OA与OB表示的力的合力.体现了向量的加法运算. 思考2

三角形法则和平行四边形法则. →→→梳理

(1)两个向量和

(2)AC

a＋b

AC

三角形

0＋a

a

OC

平行四边形

知识点二

思考1

交换律和结合律. →→→→思考2

∵AC＝AB＋BC，∴AC＝a＋b. →→→→∵AC＝AD＋DC，∴AC＝b＋a. ∴a＋b＝b＋a. →→→思考3

∵AD＝AC＋CD

→→→＝(AB＋BC)＋CD，

→∴AD＝(a＋b)＋c，

→→→→→→又∵AD＝AB＋BD＝AB＋(BC＋CD)，

→∴AD＝a＋(b＋c)，

∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 梳理

b＋a

a＋b

b＋c

题型探究

→→→例1

解

(1)作法：在平面内任意取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b.

→→→→(2)在平面内任意取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，则OC＝a＋b＋c.

→→跟踪训练1

(1)OB

(2)AD

(3)0 →→→→→例2

解

(1)BC＋AB＝AB＋BC＝AC. →→→→→→(2)DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB

→→→→→＝(BC＋CD)＋DB＝BD＋DB＝0. →→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA

→→→→→＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA

→→→→＝AC＋CD＋DF＋FA

→→→→→＝AD＋DF＋FA＝AF＋FA＝0. 跟踪训练2

22 例3

解

作出图形，如图所示.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，

在Rt△ACD中，

→→|CD|＝|AB| ＝|v水|＝10 m/min，

→|AD|＝|v船|＝20 m/min，

→|CD|101∴cos α＝＝＝，

→202|AD|∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角. ∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进. 引申探究

1.解

由例3知v船＝20 m/min，

v实际＝20×sin 60°

＝103(m/min)，

故该船1 h行驶的航程为

103×60＝6003(m) ＝33(km). 5

→2.解

如图，作平行四边形ABDC，则AD＝v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tan →|BD|20α＝＝＝2.

→10|AB|

即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2. 跟踪训练3

A处所受的力为53 N，B处所受的力为5 N 当堂训练

1.D

2.D

3.C

4.C

5.20