小结教案（名师）

广东番禺中学2017-2018下学期高一年级数学学科集体备课教（学）案 问题驱动

课堂互动

合作共赢

学生

班级 姓名 上课时间： 年 月 日 主备人：刘六云

课题：§2.5.3平面向量章节复习与练习

【学习目标】

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.[来源:学科网]

3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|+|b|)=|a－b|+|a+b|. 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：[来源:Zxxk.Com]

6. 向量的坐标概念和坐标表示法

7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos= x1x2y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

2222【学习过程】

一、知识小结(一)、基本概念：

1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．

2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。

与非零向量a共线的单位向量a0aa

3. 平行向量：若非零向量a,b方向相同或相反，则a//b；规定零向量与任一向量平行

4、向量相等：ab

模相等，方向相同；相反向量：ab模相等，方向相反

5、两个非零向量a、b的夹角：做OA=a；OB=b；AOB叫做a与b的夹角。

6、坐标表示：i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，若axiyj，则x,y叫做a的坐标。

aaaacos：设bb7.向量在方向上的投影为、的夹角，则为在b方向上的投影

(二)、基本运算：

运算

加法

向量形式

<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。

<2>三角形加法法则：首尾相连

记：坐标形式：ax1,y1；bx2,y2

a+b=x1x2,y1y2

ABBCAC

减法

起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）

记：OAOBBA

数乘

a-b=x1x2,y1y2

ABACCB

a是一个向量，a|||a|

方向：0时，与a同向；0时，与ax1,y1

数量积

a反向；0时，a0

a·b=|a||b|cos

a·b=x1x2y1y2

(三)、基本定理、公式：

1、平面向量基本定理：若e1与e2不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1、2；使得a

1e12e2。

1

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222、向量的模：a＝aa＝xy；非零向量a与b的夹角：

cosab|a||b|x1y1x2y23、向量平行：a∥babx1y2x2y1；向量垂直：a⊥bab0x1x2y1y20

二、自主探究

题型一：基本概念理解：

1. 下列六个命题中正确的是：

①两个向量相等，则他们的起点相同，终点相同；②若ab，则ab；

③若ABDC，则ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有ABDC；

⑤若ab,bc,则ac；⑥若a//b,b//c,则a//c.

2. 已知点A(3,7),B(5,2)，向量AB向右平移1个单位，向上平移2个单位后，所得到向量的坐标是（

）

(A)

(1,-7)

(B)

(2,-5)

(C)

(0,4)

(D)

(3,-3) 3. 如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的是

①e1e2(、R)可以表示平面内的所有向量;

②对于平面内的任一向量a，使ae1e2的实数,有无数对；

③若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使1e11e2(2e12e2)；

④若实数、使1e11e20，则0.[来

题型二：线性运算：

→1、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么EF＝(

) 1→1→1→1→A．AB＋AD

B．－AB－AD

22221→1→1→1C．－AB＋AD

D．AB－AD

2222

x1x2y1y22222

222、已知a(5,4),b(3,2)，则与2a3b平行的单位向量的坐标为

练习

1、在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF等于

2、若a=（2，3），b=（－4，7），则a在b方向上的投影为____________。

3、在平面四边形ABCD中，向量aAB4,1，bBC3,1，cCD1,2．

（Ⅰ）若向量a2b与向量bkc垂直，则实数k的值为

（Ⅱ）若DBmDAnDC，实数mn

题型三：平行与垂直

1.已知O,N,P在ABC所在平面内，且|OA||OB||OC|，NANBNC0，

且PAPBPBPCPCPA，则点O,N,P依次是ABC的（

）

A. 重心

外心

垂心

B. 重心

外心

内心

C. 外心

重心

垂心

D. 外心

重心

内心

2



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2.平面内给定三个向量a(3,2),b(1,2),c(4,1).

（1）求满足ambnc的实数m,n;

（2）(akc)//(2ba),求实数k; （3）设d(x,y)若满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.

题型四：夹角与模

1.设|a||b|1,|3a2b|3,

求|3ab|的值.

2．已知abc0，|a|=3，|b|=5，|c|=7．

（1）求a与b的夹角；

（2）是否存在实数k，使kab与a2b垂直？

三、课堂检测

1、已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，3)，则向量a与b的夹角是(

) ππ2π5πA.

B.

C.

D.

6336→→→2、设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则(

) →→→→A.PA＋PB＝0

B.PC＋PA＝0

→→→→→C.PB＋PC＝0

D.PA＋PB＋PC＝0

m3、已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(

) n11A．－2

B．2

C．－

D.

224、若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(

)

A．4

B．3

C．2

D．0 5、已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|等于________．

6、已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________. [来源:学_科_网Z_X_X_K]四、小结与反思：

3

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五、课后作业

1.已知a、b、c是共起点的向量，a、b不共线，且存在m、n∈R使c＝ma＋nb成立，若a、b、c的终点共线，则必有(

) A．m＋n＝0

B．m－n＝1

C．m＋n＝1

D．m＋n＝－1 2.与向量a＝(1,1)平行的所有单位向量为(

) A．(222222222，2)

B．(－2，－2)

C．(±2，±2)

D．(222，2)或(－2，－2) 3.已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为(

) A．322

B．315323152

C．－2

D．－2

4.已知C为△ABC的一个内角，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cosC，cosC＋1)．若m⊥n，则∠C等于(

A．π6

B．π3

C．2π5π3

D．6

5.如图，在中，点满足，

（）则

6.如图，正三角形ABC边长为2，设BC→＝2BD→，AC→＝3AE→，

则AD→·BE→＝________.

7.

已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求3a＋b－2c；

(2)求满足a＝m

b＋n

c的实数m，n；

(3)若(a＋k

c)∥(2b－a)，求实数k.

8．设a，b是不共线的两个非零向量．

(1)若OA→＝2a－b，OB→＝3a＋b，OC→＝a－3b，求证：A，B，C三点共线．

(2)若AB→＝a＋b，BC→＝2a－3b，CD→＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．

4

)

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【学习目标】

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.[来源:学科网]

3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|+|b|)=|a－b|+|a+b|. 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：[来源:Zxxk.Com]

6. 向量的坐标概念和坐标表示法

7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos= x1x2y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

2222【学习过程】

一、知识小结(一)、基本概念：

1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．

2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。

与非零向量a共线的单位向量a0aa

3. 平行向量：若非零向量a,b方向相同或相反，则a//b；规定零向量与任一向量平行

4、向量相等：ab

模相等，方向相同；相反向量：ab模相等，方向相反

5、两个非零向量a、b的夹角：做OA=a；OB=b；AOB叫做a与b的夹角。

6、坐标表示：i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，若axiyj，则x,y叫做a的坐标。

aaaacos：设bb7.向量在方向上的投影为、的夹角，则为在b方向上的投影

(二)、基本运算：

运算

加法

向量形式

<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。

<2>三角形加法法则：首尾相连

记：坐标形式：ax1,y1；bx2,y2

a+b=x1x2,y1y2

ABBCAC

减法

起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）

记：OAOBBA

数乘

a-b=x1x2,y1y2

ABACCB

a是一个向量，a|||a|

方向：0时，与a同向；0时，与ax1,y1

数量积

a反向；0时，a0

a·b=|a||b|cos

a·b=x1x2y1y2

(三)、基本定理、公式：

1、平面向量基本定理：若e1与e2不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1、2；使得a

1e12e2。

5

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222、向量的模：a＝aa＝xy；非零向量a与b的夹角：

cosab|a||b|x1x2y1y2x1y122

23、向量平行：a∥babx1y2x2y1；向量垂直：a⊥bab0x1x2y1y20

二、自主探究

题型一：基本概念：

1. 下列六个命题中正确的是：

⑷

①两个向量相等，则他们的起点相同，终点相同；②若ab，则ab；

③若ABDC，则ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有ABDC；

⑤若ab,bc,则ac；⑥若a//b,b//c,则a//c.

2. 已知点A(3,7),B(5,2)，向量AB向右平移1个单位，向上平移2个单位后，所得到向量的坐标是（B）

(A)

(1,-7)

(B)

(2,-5)

(C)

(0,4)

(D)

(3,-3) 3. 如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的是

⑵

①e1e2(、R)可以表示平面内的所有向量;

②对于平面内的任一向量a，使ae1e2的实数,有无数对；

③若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使1e11e2(2e12e2)；

④若实数、使1e11e20，则0.[来

题型二：线性运算：

→1、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么EF＝(

D

) 1→1→1→1→A．AB＋AD

B．－AB－AD

22221→1→1→1C．－AB＋AD

D．AB－AD

2222x2y22222、已知a(5,4),b(3,2)，则与2a3b平行的单位向量的坐标为(5,25),或(5,25),

5555练习

1、在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF等于

21

ab33

2、若a=（2，3），b=（－4，7），则a在b方向上的投影为____________。65

53、在平面四边形ABCD中，向量aAB4,1，bBC3,1，cCD1,2．

（Ⅰ）若向量a2b与向量bkc垂直，则实数k的值为

31

8（Ⅱ）若DBmDAnDC，实数mn

3

2题型三：平行与垂直

1.已知O,N,P在ABC所在平面内，且|OA||OB||OC|，NANBNC0，

且PAPBPBPCPCPA，则点O,N,P依次是ABC的（

C

）

A. 重心

外心

垂心

B. 重心

外心

内心

C. 外心

重心

垂心

D. 外心

重心

内心

2.平面内给定三个向量a(3,2),b(1,2),c(4,1).

（1）求满足ambnc的实数m,n; 6

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（2）(akc)//(2ba),求实数k; （3）设d(x,y)若满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d. 解：(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，

5m＝，9－m＋4n＝3，∴得

82m＋n＝2，n＝.9



(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，

16∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，k＝－. 13(3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，

4x－4－2y－1＝0，x＝3，x＝5，由题意得得或故d＝(3，－1)或(5,3)．

22x－4＋y－1＝5，y＝－1y＝3.题型四：夹角与模

1.设|a||b|1,|3a2b|3,

求|3ab|的值. 答案：|3ab|23

2．已知abc0，|a|=3，|b|=5，|c|=7．

（1）求a与b的夹角；

（2）是否存在实数k，使kab与a2b垂直？

解析：（1）由abc0，得abc，

所以|ab||c|，即(ab)c，则ab2abc，

2212151ab所以ab(cab)=，则cosa,b==，所以a,b；

223|a||b|22285（2）由于（kab）·（a2b）=ka2b2kabab=6k=0，

285所以k=时，kab与a2b垂直．

1222222三、课堂检测

1、已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，3)，则向量a与b的夹角是(

C

) ππ2π5πA.

B.

C.

D.

6336→→→2、设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则(

B

) →→→→A.PA＋PB＝0

B.PC＋PA＝0

→→→→→C.PB＋PC＝0

D.PA＋PB＋PC＝0

m3、已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(

C

) n11A．－2

B．2

C．－

D.

224、若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(

D

)

A．4

B．3

C．2

D．0 5、已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|等于__5______．

6、已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝___-1_____. [来源:学_科_网Z_X_X_K]四、小结与反思：

7

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五、课后作业

1.已知a、b、c是共起点的向量，a、b不共线，且存在m、n∈R使c＝ma＋nb成立，若a、b、c的终点共线，则必有(

) A．m＋n＝0

B．m－n＝1

C．m＋n＝1

D．m＋n＝－1 →→→答案

C解析

设OA＝a，OB＝b，OC＝c，∵a、b、c的终点共线，

→→→→→→→→→∴设AC＝λAB，即OC－OA＝λ(OB－OA)，∴OC＝(1－λ)OA＋λOB，

1－λ＝m，即c＝(1－λ)a＋λb，又c＝ma＋nb，∴∴m＋n＝1. λ＝n，2.与向量a＝(1,1)平行的所有单位向量为(

D

)

A．(2222222222，)

B．(－，－)

C．(±，±)

D．(，)或(－，－) 2222222222→→3.已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为(

A

) 3231532315A．

B．

C．－

D．－

2222→→→→由条件知AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，AB·CD＝10＋5＝15 →→AB·CD1532→→→→→→22.|CD|＝5＋5＝52，则AB在CD方向上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝＝＝。

2→52|CD|4.已知C为△ABC的一个内角，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cosC，cosC＋1)．若m⊥n，则∠C等于(

C

) ππ2π5πA．

B．

C．

D．

63361解析

∵m⊥n，∴2cos2C－3cosC－2＝0，∴(2cosC＋1)(cosC－2)＝0，∴cosC＝－，

22π又C为△ABC的一个内角，∴C＝. 35.如图，在中，点（满足，

）则



1

→→→→6.如图，正三角形ABC边长为2，设BC＝2BD，AC＝3AE，

→→则AD·BE＝________. →→→→1→→→→1→→解析

∵AD＝AB＋BD＝AB＋BC，BE＝AE－AB＝AC－AB，

23111→→→1→1→→1→→1→→1→→→21∴AD·BE＝(AB＋BC)·(AC－AB)＝AB·AC＋BC·AC－BC·AB－AB＝×2×2×＋×2×2×

23362326211＋×2×2×－22＝－2. 22

8