2.3.1 变量之间的相关关系多媒体教案及点评

第三节 变量之间的相互关系

-------------线性回归方程

教学目标：1.了解变量之间的两种关系

2.了解散点图，及怎样作出散点图。

3.会利用公式去求解线性回归方程

教学重难点：求线性回归方程

教学过程：

一：预习课本思考并回答三个问题

1.

变量之间的关系是什么？

2.

什么叫散点图，及怎样作出散点图

3.

什么叫线性回归方程

二：新知初探

1.变量之间的常见关系

（1）

函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性关系

（2）

相关关系：变量之间有一定的关系，但是不能完全用函数来表达

点睛：函数是一种因果关系，而相关关系不一定因果关系，也可能是伴随关系。如试验田的施肥量x与水稻产量y当自变量x每去一个确定的值时，因变量的取值有一定的随机性

2.散点图

（1）概念：将样本中的n个数据点描在平面直角坐标系中，用来表示两个变量的一组数据的图形叫散点图。

（2）作法：建立一个平面直角坐标系，用横轴表示一个变量，用纵坐标表示另一个变量，将给出的数据所表示点点在平面直角坐标系中描出，即得到散点图。

点睛：对于散点图要注意以下几点

（1）

若所有样本点都落在某一函数曲线上，则变量具有函数关系

（2）

若所有点都落在某一函数曲线附近，则变量具有相关关系

（3）

若散点图中的点的分布没有规律，则变量不具有相关关系，他们之间是相互独立的

3．线性相关关系

能用直线^y＝bx＋a近似表示的相关关系叫线性相关关系．

4．线性回归方程

(1)概念：设有n对观察数据如下：

X y

X1 y1 X2 y2 X3 y3 ……

……

xn yn 当a，b使Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2取得 时，就称方程 为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为 ．

(2)用回归直线进行数据拟合的一般步骤

①作出散点图，判断 是否在 附近．

②如果散点在一条直线附近，用公式求出a, b，求出回归直线方程

小试身手

1.下列各组变量是相关关系的是________．

(1)电压U与电流I；

(2)圆面积S与半径R；

(3)粮食产量与施肥量；

(4)广告费支出与商品销售额．

解析：(1)(2)中两个变量间是函数关系，(3)（4）中两个变量之间有关系，但不能用函数表达，是相关关系．

答案：(3)(4)

2．5名学生的化学和生物成绩如下表所示：

判断化学和生物成绩之间是否具有相关关系________(填“具有”

“不具有”)．

学生A

化学成80 绩

生物成绩

70 答案：具有

学用结合

题型一

学生B 75 65 学生C 70 68 学生D 65 64 学生E 60 62 [典例一] 在下列各个量与量的关系中：

①正方体的表面积与棱长之间的关系；

②某同学的数学成绩和物理成绩之间的关系；

③家庭的收入与支出之间的关系；

④某户家庭用电量与水费之间的关系．

其中是相关关系的为________________．

[典例二] 在下列各个量与量的关系中：

①正方体的表面积与棱长之间的关系；

②某同学的数学成绩和物理成绩之间的关系；

③家庭的收入与支出之间的关系；

④某户家庭用电量与水费之间的关系．

其中是相关关系的为________________．

[解析] ①正方体的表面积与棱长之间的关系是确定的函数关系；④某户家庭用电量与水费之间无任何关系．②③中，都是非确定的关系，但自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性．

[答案] ②③

类题通法

判断两个变量是否具有相关关系，主要有两种方法：一是根据相关关系的定义进行判断，看这两个变量是否具有不确定性．二是利用散点图，看散点图中的点是否都落在某一函数曲线附近．

活学活用

关于人体的脂肪含量(百分比)与年龄关系的研究中，得到如下一组数据：

年龄

23 脂肪

9.5

27 39 41 45 49 50 53 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6

(1)将上表中的数据制成散点图；

(2)你能从散点图中发现年龄与脂肪含量近似成什么关系吗？(3)若成线性相关关系，请你画一条直线近似地表示这种线性关系． 解：(1)以年龄作为x轴，脂肪含量为y轴，可得相应散点图，如图所示．

(2)从散点图可以发现，年龄与脂肪含量之间具有线性相关关系．

(3)画出的一条直线如图．

题型二.线性回归方程的求法和应用

有如下的统计资料：

使用年限2 3 4 5 x 维修费用2.2 3.8 5.5 6.5 y 若由资料知y与x成线性相关关系．试求：

(1)线性回归方程^y＝bx＋a的系数a，b；

(2)所求的回归直线必过点P(－x，－y)吗？

(3)使用年限为10年时，试估计维修费用是多少？

(4)若设备的

使用年限x每增加一年，则所支出的维修费用y如何变化？

6 7.0

[解] (1)∵－x＝4，－y＝5，x2i＝90，xiyi＝112.3，

i＝1i＝155x－yxiyi－5－i＝15∴b＝22－x－5xi5112.3－5×4×5＝＝1.23. 90－5×42i＝1a＝－y－b－x＝5－1.23×4＝0.08. (2)线性回归方程是^y＝1.23x＋0.08，

又－x＝4，－y＝5，把点P(4,5)代入线性回归方程知必过点P

(3)当x＝10时，^y＝1.23×10＋0.08＝12.38，

所以估计使用10年时维修费用是12.38万元．

(4)由线性回归方程知，使用年限每增加一年维修费用就提高1.23万元．

类题通法

(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具备相关关系或相关性不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的

达标测评：

1:球的体积和半径具有（）关系

A:函数关系 B相关关系

C不确定关系 D无关系

2:下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）

A:角的度数和正弦值

B速度一定时，距离和时间的关系

C正方体的棱长和体积

D日照时间和水稻的亩产量

3：某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制气温

26 18 13 10 4 杯数

20 24 34 38 50 作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： -1 64

为了了解热茶销售

与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系中标出得到如下散点图：

答：都分布在同一条直线的附近。

像这样能用直线方程y=bx+a来表示两个变量之间的相关关系，我们把它称为线性相关关系

课后作业：习题

1. 2. 3.