阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质ppt课件教学实录

一、教学分析

（一）教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修四第二章《平面向量》中的阅读与思考（向量的运算（运算律）与图形性质）。主要内容是将向量的运算与图形性质结合，利用向量方法解决几何问题，利用图形性质简化向量运算。本节课通过学生利用向量运算解决几何问题，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力. （二）教学对象分析

对高一学生来说，前面已经学习过利用向量方法解决几何问题，能解决简单的几何问题。通过本节教学还能使学生学会运用已有的认知结构探求新知的方法.这将使学生在以后的学习数学的过程中遇到困难想办法进行转化，培养学生的数学应用能力。

（三）教学环境分析

根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系。

二、教学目标：

知识与技能：

1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．

2．明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．

过程与方法：

通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义．

情感、态度与价值观

通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．

三．重点难点 重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．

难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题．

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

（一）创设问题情境，引出新课

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．下面我们首先回忆平面向量可以解决哪些几何问题。

想一想：向量可以解决哪些常见的几何问题？

1.解决有关夹角、长度等的计算或度量问题

向量模的公式: 向量夹角的公式：

2.解决直线平行、垂直、三点共线、

三线共点

等关系

向量共线定理：

向量的垂直：

（二）通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用．

【2017课标II，文4】设非零向量a，b满足a+b=a-b则(A.a⊥bB.a=bC.a∥bD.ab）.D．不能确定)来源学科网Z,X,X,K【变式一】在ABC中，若A．钝角三角形|BABC||AC|，则ABC一定是（C．直角三角形B．锐角三角形[来源:学+科+网]【变式二】在平面四边形ABCD中，满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是(A．矩形)．B．正方形C．菱形D．梯形

点评：平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许

多性质。让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法．认清向量方法的优越性。

（三）探究：利用向量方法研究几何问题

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，求证：

用向量证明）

AFDE（利

通过例题求解，引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素．然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

（三）

应用示例

【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan=7,OB与OC的夹角为45°.若OCmOAnOB(m,nR),则mnCB.AO(第12题)

思路一：利用向量的坐标运算解答。

思路二：平面向量基本定理，三角函数正弦定理。

思路三：利用平面向量数量积。

点评：比较是最好的学习方法．本例利用3种方法进行解答，教学中引导学生仔细体会，以达到融会贯通，灵活运用之功效. 课堂练习：

(2017年全国卷Ⅱ理12)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PAPBPC的最小值是(A．2)D．—1

3B．—22C．3六、课堂小结

1．由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”．特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度．

2．本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点．

七、教学反思

1．由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题．因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续内容的解析几何等知识的交汇，提高学生综合解决问题

的能力．

2．平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．