阅读与思考 向量及向量符号的由来多媒体教案及点评

平面向量数量积的物理背景及含义

教学目标

1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算和判断；

3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括的能力。

教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质。

教学难点：平面向量数量积的概念。

教学方法：启发探究式,讲练结合法。

教学准备：多媒体、彩色粉笔。

课型：新授课.

教学过程

(一)复习引入

教师引言：前面我们学习了向量的相线性运算，向量的加法、减法和数乘运算。我们知道这些运算有个共同的特点，就是他们运算的结果仍然是一个向量。既然平面向量能进行加减运算，那自然会想到两个向量能否进行乘法运算？如果能，结果应该是什么呢？我们很清楚，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，我们来看物理学中这样的一个例子：物理学家很早就知道,如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:

F



F

S

S

(图1)

(图2 )

(图1)中力所做的功W=FS，(图2)中力所做的功WFScos，在物理中功是一个标量，是由F和S这两个向量来确定的，如果我们把功看成是由F和S这两个向量的一种运算结果，就可以引出新课的内容“平面向量数量积的物理-0-

背景及其含义”. (二)合作探究

 结合物理学中功大小的定义WFScos和前面我们说的把功看成是F和两个向量的运算结果，两者是等价的.如果把和FS这两个向量推广到一般的S向量，就引出数量积的定义．

1、数量积的定义：

已知两个非零向量a和b，把数量abcos叫做a与b数量积（或内积），记作ab（注意：两个向量的运算符号是用“”表示的，且不能省略），用数学符号表示即ababcos,（0180）

. 规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即0a0a为任意向量

2、接下来，请同学们思考一个问题：

根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？

我们前面已经提到两个向量的夹角在0，180，根据余弦函数的知识我们可以知道: 当0,90时，cos0，ab0；

当90,180时，cos0，ab0. 当90,ab,ab0; 3、投影的定义

ababcos是由WFScos的引出来的，而WFScos是F1所做的FFcosF功，1是在S方向上的分力，那么在数量积中acos叫做什么呢？这是我们今天要学的第二个新概念“投影”

：

acosθ（bcosθ）叫做向量a在b方向上(b在a方向上）的投影. 4、根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义：

ab等于a的长度a与数量积b在a方向上的投影bcos的乘积

5、功的数学本质是什么？功的数学本质是力与位移的数量积。

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6、探究数量积的性质

我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角: 90,ab,ab0; 0，a与b同向，abab; 180，a与b反向，ab-ab. 我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长,怎样得出它们的夹角呢?

ab根据定义ababcoscos．由此我们就可以得出的值.当abab0时,cos090．

总结abab0. 2特别地，aaa或aaa,这里aa常记为a2. 请判断ab与ab的大小关系．

解：因为ababcos,cos1，

所以ababcosab．

这些就是数量积的性质。在课堂上以上性质以探究形式出现，让同学们积极思考，踊跃回答并总结其各自的应用。

（三）例题讲解，巩固知识

例1已知a5,b4，a与b的夹角=120度，求ab．

解：根据数量积的定义: ababcos

1 =54cos120=54=-10. 2

练习：在△ABC中BC=8,CA=7,C600求BCCA。

(-28) 2,b8,例2已知ab8,a求a与b的夹角。

解：ababcosab81cos282ab0,180120ooo-2-

o

变式：已知ab63,a2,a与b的夹角30,求b.

（四）

课堂练习

1、判断下列各命题是否正确，并说明理由

①、若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0．

②、若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c．

2、已知△ABC中，AB=a, AC=b，当a·b <0或a·b＝0时，试判断△ABC的形状。

（五）课堂小结

本节课你有什么收获？让学生各抒己见从不同方面加以总结。

( 知识收获，学习方法，数学思想等．) （六）

布置作业：

1、课本P121习题2.4A组1、2、6。

2、拓展与提高：

已知a与b都是非零向量，且a+3b

与7a -5b垂直，a-4b与 7a-2b垂直，求a与b的夹角。（本题供学有余力的同学选做）

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