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《平面向量最值与范围问题》教学设计

一、教材分析

本节是在学完必修4第2章平面向量的概念、运算、坐标及应用整章知识后的一堂专题研讨课，教材一直坚持从数和形两个方面建构和研究向量，如向量的几何表示，三角形，平行四边行法则让向量具备形的特征，而向量的坐标表示，和坐标运算又让向量具备数的特征。所以我们在研究向量问题或用向量解决数学、物理问题时，应具备数形结合思想，转化思想.通过本堂课的教学让学生感受到数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性，达到提高学生运用数形结合思想，转化思想解决问题的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。

二、学情分析

平面向量是新增内容，在近几年高考中一般总与解析几何相结合来命题.但由于学生没有学解析几何（直线、圆、圆锥曲线）的内容，只有初中平面几何的知识，因此本节的几何模型只局限在平面几何图形。而本人所执教的高一（9）班，学生具备一定的独立思考、合作探究能力，因此本节课采用学生主讲、教师点评的授课方式，既能充分发挥学生主观能动性，又能达到预期的教学目的。

三、教学目标

知识与技能目标(1)掌握平面向量的基本方法。

(2)体会平面向量与几何意义的等价转化。

(3)学会将向量问题转化为几何意义。

过程与方法目标(1)经历“类比—归纳—推广”的过程。

(2)体会数形结合与等价转化思想。

情感态度价值观(1)体会向量与几何的内在联系。

(2)感受建构意识和探索意识。

四、教学重难点

教学重点：掌握平面向量的基本方法，学会平面向量的几何转化。

教学难点：对向量问题转化为几何意义的等价性。

五、教学方法

通过设问、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力，借助幻灯片、几何画板的辅助教学，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围。

六、教学过程

教学结构设计：

平面向量基本方法回顾（约5分钟）：例题引入，归纳方法。

平面向量范围问题探究（约12分钟）：1.变式递进，探求解法；2.类比推广，思维强化。

平面向量恒成立问题转化（约15分钟）：1.逆向转化，熟悉过程；2.恒成立问题等价替换。

综合练习（约8分钟）：综合练习，提高认识

教学过程：

1.例题引入，归纳方法

引例

已知向量a,b满足|a|1，|b|2，

则|ab|的取值范围

. 学生活动：独立完成，一题多解，归纳平面向量的基本方法。

教师活动：提问学生，阐述方法，展示过程，整理学生方法，呈现几何解法，引出主题。

法1：直角坐标法；

法2：向量基底法；

法3：构造几何模型；法4：三角不等式：|a||b||ab||a||b|

设计意图：以练带思，促使回忆常规方法；深化辨析，明确各方法的适用。

2.变式递进，探求解法

变式

已知向量a,b满足|a|1，|b|2，则|b2a||b2a|的取值范围

. 学生活动：独立完成，结合引例，类比推广，对已知的再思考，增强思维力度，类比向量常见几何意义：模长，距离等，构建满足条件的几何模型，从直观图像中剖析向量目标的几何意义。

教师活动：提问引导，在原有知识体系中深化概念，从代数与几何两方面分析问题的本质，引导学生理解代数与几何之间存在等价替换的意识。

设计意图：通过同知异构，提升难度，促进思考；观察目标，引申几何意义，形成数形结合意识。有利于学生对所学知识的串联、累积和加工，为下面变式训练中的高考题作铺垫。

3.类比推广，思维强化

练习

已知向量a,b满足|a|1，|b|2，则|ab||ab|的最小值是

，最大值是

. 学生活动：利用变式训练，让学生感受高考题，激发学生的学习热情。而从变式入高考，感受高考来源与平时知识，教学与运用建立联系。学生类比，同时区分两者的区别，在变与不变中寻找关系，对几何模型重构，完善思维。

教师活动：教师提问，变式与高考题之间的关系，学生单独回答，呈现思维过程，教师加以引导与纠正，完善学生思维，同时点明分析过程中的可能存在的知识漏洞与误区，并加以强化。

设计意图：练习引申，几何重构，再建认知；强化过程，完善思维，辨析方法，符合学生认识规律，并在结论的发现过程中培养学生的思维能力。

4.逆向转化，熟悉过程

变式

已知向量a,b满足|a|1，|ab||ab|25恒成立，则|b|的取值范围

. 学生活动：反向思考，在同一题型模式下，找取关键信息，熟练操作，同时引入恒成立问题，适应新问题的变换，感受原有范围问题与恒成立问题的内在联系。

教师活动：分析题干，找准关键点，引导学生从高考中变出来，对问题进行解答。

设计意图：逆向转化，灵活变式，熟悉变化；引入新题型，衔接过渡，知识扩延。

此题既能从数的角度解之，也能从形的角度解之。从数的角度能达到复习向量基础知识、基本方法的目的，但运算量较大，从形的角度达到复习向量几何运算和培养学生构图能力的目的，并为下面训练中的构造法解题作铺垫。

5.恒成立问题等价替换

练习

已知向量a,b满足|a|1，|b|2，若对任意单位向量e，均有|ae||be|6，则ab的最大值是

. 学生活动：学生在教师的引导下，对模的几何概念与代数特征进行剖析，从几何与代数的角度上，建立几何模型，进行等价转换，分析目标表达实际的几何意义，从几何中直观的反映目标的范围问题。

教师活动：引导学生进行有效转化，在学生的知识盲区中加以提示，让学生感受过程，体会

辨析。同时对代数方法加以思考，从代数角度印证几何的正确性，体现向量在求解几何与代数方面的工具作用。

|(ab)e|,(ae)(be)0

6|ae||be||(ab)e|,(ae)(be)0设计意图：几何代数，等价变化，构建模型；多角度辨析题型，扩充知识内涵。

6.综合练习，提高认识

练习

1.已知a,b是非零向量，且|a|1,|a2b|1，则|ab||b|的取值范围为

. 2.已知a,b满足|a|5，|b|1，且|a4b|21，则ab的最小值为

. 学生活动：独立完成，印证所学。

教师活动：归纳整理，引导纠正。

设计意图：通过练习体会，利用代数与几何两方面解决向量问题，检验学生掌握情况，提高认识。

七、板书设计

八、课后反思

本节课的设计最大的特色在于向量最值与范围问题探究过程中习题的安排，按照一定的梯度，从直接求解到等价转化，再到问题的多维度思考，符合学生的认知规律，特别是体现了向量知识运用几何意义解决的便捷性，也符合高考考纲中要求学生熟练掌握数形结合思想与构建转化的能力，其次本节课对教学疑点有作进一步的阐明，不仅发现问题也解决了问题，达到较好的教学效果。

但本节课在部分几何意义的阐述上，由于圆锥曲线概念的欠缺，几何意义无法完备的说明，使得学生在学习过程中存在的疑点。