3.1.2 概率的意义优秀公开课教案

3.1.2 概率的意义

教学设计

一、问题情境

在日常生活中，我们经常遇到某某事件发生的概率是多少，如2004年2月5日《文汇报》登载的两则消息．

本报讯

记者梁红英报道：2月3日晚6点19分，一彩民购买的“江浙沪大乐透”彩票，同时投中10注一等奖，独揽48571620元巨额奖金，创下中国彩票史上个人一次性奖额之最．

……据有关人士介绍，该彩民当时花了200元买下100注“江浙沪大乐透”彩票，分成10组，每组10注，每组的自选号码相同．结果，其中1组所选号码与前晚“江浙沪大乐透”2004015期开奖号码完全一致．

本报讯

记者江世亮报道：……对这种似乎不可能发生事件的发生，从数学概率论上将作何解释？为此，记者于昨日午夜电话连线采访了本市一位数学建模专家，他说，以他现在不完全掌握的情况来分析，像这名幸运者同时获得10个大奖的概率，可称得上一次万亿分之一的事件，通俗地讲就是接近于零．

对文中的“万亿分之一”我们怎样理解呢？再如：天气预报说“明天降雨的概率是80%，我们明天出门要不要带伞？收音机里广播报道2004年冬某地“流行性感冒的发病率为10%”，我们这里要不要采取预防措施？……对这些在传播媒体上出现的数字80%，10%等，我们该作何理解呢？

二、建立模型

为了解决诸如以上的实际问题，我们不妨先从熟悉的频率的概念入手．首先，将全班同学平均分成三组，第一组做掷硬币试验，次数越多越好，观察掷出正面向上的次数，然后把试验结果和计算结果分别填入下表．

表28-1

小组编号

抛掷次数（n）

正面向上的次数（m）

正面向上的频率（

）

第二组做抓阄试验．写五个阄，即分别标号为1，2，3，4，5，有放回地抓，每次记录下号数，次数越多越好．不妨统计一下各号数所占频率．

第三组做摸围棋子试验．预先准备黑、白围棋子若干，然后给该组学生黑子30粒，白子10粒，让该组学生有放回地摸，次数为100次，每次摸出1粒，并记录下每次摸到的棋子的颜色，求出白子出现的频率．

试验结束，让各组学生回答试验结果．第一组正面向上的频率必然接近定是每个号出现的频率接近，而第三组结果肯定位于，第二组结果肯附近．各组学生所得结果可能大于预定数，也可能小于预定数，但都比较接近．

让学生讨论：出现与上述结果比较接近的数字受何因素影响？

（学生思考，讨论，教师投影以下表格）

历史上有些学者还做了成千上万次掷硬币的试验，结果如下表所示：

表28-2

试验者

抛掷次数（n）

正面向上的次数（m）

正面向上的频率（棣莫佛

蒲

丰

费

勒

皮尔逊

皮尔逊

2048 4040 10000 12000 24000 1061 2048 4979 6019 12012 0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005

）

观察上表后，引导学生总结：

在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，而且随着试验次数的增加，一般摆动幅度的越小，而且观察到的大偏差也越少，频率呈现一定的稳定性．

通过三组试验，我们可以发现：虽然，，三个数值不等，但是三个试验存在共性，即随机事件的频率随试验次数的增加稳定在某一数值附近．同时还可看出，不同的随机事件对应的数值可能不同．我们就用这一数值表示事件发生的可能性大小，即概率．（引出概率定义）

定义可采用学生口述、教师补充的方式，然后可以投影此定义：一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆度幅度越来越小，这时就把这个常数叫作事件A的概率，记为P（A）．

学生可考虑如下问题：（1）概率P（A）的取值范围是什么？

（2）必然事件、不可能性事件的概率各是多少？

（3）频率和概率有何关系？

其中重点是问题（3），应启发、引导学生总结出：在大量重复试验的前提下，频率可以近似地称为这个事件的概率，而概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．

为加深对二者关系的理解，可以进行如下类比：给定一根木棒，谁都不怀疑它有“客观”的长度，长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量，不论尺或仪器多么精确，测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近．事实上，人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”值．这里测量值就像本节中的频率，“客观”长度就像概率．

概率的这种定义叫作概率的统计定义．在实践中，经常采用这种方法求事件的概率．

三、解释应用

［例

题］

1. 把第三组试验中的黑棋子减少10粒，即20粒黑子，10粒白子，那么摸到黑子的概率约为多少？

学生通过多次试验，可以发现此概率约为. 2. 为确定某类种子的发芽率，从一批种子中抽出若干批做发芽试验，其结果如下：

表28-3

种子粒数（n）

发芽粒数（m）

发芽率（

）

25 24 0.96 70 60 0.857 130 116 0.892 700 639 0.913 2000 1806 0.903 3000 2713 0.904 从以上的数据可以看出，这类种子的发芽率约为0.9．

［练

习］

某射击手在同一条件下进行射击，结果如下：

表28-4

射击次数（n）

击中靶心次数（m）

击中靶心频率（

）

10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455

（1）计算表中击中靶心的各个频率．

（表中各频率分别为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91）

（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

（由此（1）可知，这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9）

四、拓展延伸

“某彩票的中奖概率为”是否意味着买1000张彩票就一定能中奖？

从概率的统计定义出发，我们先来考虑此题的简化情形：在投掷一枚均匀硬币的随机试验中，正面出现的概率是，这是否意味着投掷2次硬币就会出现1次正面呢？

根据经验，我们投掷2次硬币有可能1次正面也不出现，即出现2次反面的情形，但是在大量重复掷硬币的试验中，如掷10000次硬币，则出现正面的次数约为5000次．

买1000张彩票相当于做1000次试验，结果可能是一次奖也没中，或者中一次奖，或者多次中奖．所以“彩票中奖概率为”并不意味着买1000张彩票就一定能中奖．只有当所买彩（比如. 票的数量n非常大时，才可以将大量重复买彩票这个试验看成中奖的次数约为说买1000000张彩票，则中奖的次数约为1000），并且n越大，中奖次数越接近于由此我们可以说，对于小概率事件，从理论上来讲，发生的可能性很小，甚至在一定条件下可能不会发生．但是，实际上小概率事件仍有发生的可能，如本节开头提到的万亿分之一的概率事件就发生了．