2.1.2 向量的几何表示教学设计案例

[学习目标]

1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．

知识点一

向量的概念

数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．

注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题．

②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．

思考

已知下列各量：

①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．

其中是数量的有________________，是向量的有________________．

答案

②④⑤⑨⑩

①③⑥⑦⑧

知识点二

向量的表示方法

(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．

→以A为起点、B为终点的有向线段记作AB. →(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c，…，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用a，

→→

b，

c)．

→→→→(3)向量AB的大小：也就是向量AB的长度(或称模)，即有向线段AB的长度，记作|AB|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

思考

在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的

轨迹是________．

答案

单位圆

知识点三

相等向量与共线向量

(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．

①记法：向量a平行于b，记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行．

(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．

思考

向量平行具备传递性吗？

答案

向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c.因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．

题型一

向量的基本概念

例1

判断下列命题是否正确，并说明理由．

①若a≠b，则a一定不与b共线；

→→②若AB＝DC，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；

→→③在平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC；

④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；

⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c. 解

两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，→→故①不正确．②AB＝DC，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行→→→→→→四边形ABCD中，|AB|＝|DC|，AB与DC平行且方向相同，故AB＝DC，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确．若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确．

反思与感悟

对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．

跟踪训练1

下列说法正确的有________．

(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

→→(2)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；

→→(3)向量AB与BA是平行向量；

(4)任何两个单位向量都是相等向量．

答案

(3) 解析

(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．

→→(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB、CD必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．

→→(3)正确．向量AB和BA是长度相等，方向相反的两个向量．

(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．

题型二

向量的表示及应用

例2

一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．

→→→(1)作出向量AB、BC、CD；

→(2)求|AD|. →→→解

(1)向量AB、BC、CD如图所示．

→→→→(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线，

→→又|AB|＝|CD|，

∴在四边形ABCD中，AB綊CD. ∴四边形ABCD为平行四边形．

→→→→∴AD＝BC，∴|AD|＝|BC|＝200 km. 反思与感悟

准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．

跟踪训练2

在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

解

(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．

(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略)．

题型三

平行向量与共线向量

例3

如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．

(1)写出与EF→共线的向量；

(2)写出与EF→的模大小相等的向量；

(3)写出与EF→相等的向量．

解

(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，

所以EF綊12BC.又因为D是BC的中点，

所以与EF→共线的向量有：

FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→. (2)与EF→模相等的向量有：

FE→，BD→，DB→，DC→，CD→. (3)与EF→相等的向量有：

DB→与CD→. 反思与感悟

(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；

(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．

跟踪训练3

如图，已知四边形ABCD为▱ABCD，则

(1)与OA→的模相等的向量有多少个？

(2)与OA→的模相等，方向相反的向量有哪些？

(3)写出与AB→共线的向量．

解

(1)与OA→的模相等的向量有AO→，OC→，CO→三个向量．

(2)与OA→的模相等且方向相反的向量为OC→，AO→. (3)与AB→共线的向量有DC→，CD→，BA→.

对向量的有关概念理解不清致误

例4

下列说法正确的个数是(

) ①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．

A．1

B．2

C．3

D．4 错解

向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量．

答案

B或C或D 错因分析

对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．

正解

事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．

答案

A 点评

正确理解共线向量、相等向量以及非零向量的概念及其性质是关键．

1．下列说法错误的是(

) A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量是没有方向的

C．零向量与任一向量平行

D．零向量的方向是任意的

答案

B 解析

零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的．

2．下列说法正确的是(

) A．若|a|>|b|，则a>b

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若a＝b，则a与b共线

D．若a≠b，则a一定不与b共线

答案

C 解析

A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|>|b|，但a与b的方向不确定，不能说a>b，A不正确；同理B错误；D中，a≠b，a可与b共线．故选C. →→3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB与DC的关系是(

) →→A.AB＝DC

→→C.AB>DC

答案

B →→解析

|AB|与|DC|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．

4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．

→→(1)写出与AF、AE相等的向量；

→(2)写出与AD模相等的向量．

→→→→→→→→解

(1)AF＝BE＝CD，AE＝BD.(2)DA，CF，FC. →→5．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝DC，N，M分别是AD，BC上的→→点且CN＝MA，求证：四边形DNBM是平行四边形．

→→证明

∵AB＝DC，

∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD，BC平行且相等．

→→又∵CN＝MA，∴四边形CNAM为平行四边形，

∴AN，MC平行且相等，∴DN，MB平行且相等，

∴四边形DNBM是平行四边形．

向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑.同时要注意理解以下几个概念：

1平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.任一向量都与它自身是平行向量，并且规定：零向量与任一向量都是平行向量. 2共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合.“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义. 实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.因此，任意一组共线向量都可以移到同一条直线上. 3相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的.因此，用有向线段表示向量时，→→B．|AB|＝|DC| →→D.AB

可以任意选取有向线段的起点.

一、选择题

1．下列条件中能得到a＝b的是(

) A．|a|＝|b|

C．a＝0，b为任意向量

答案

D 2．下列说法正确的是(

) A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反

B．若a∥b，b∥c，则a∥c

C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

D．若a＝b，b＝c，则a＝c

答案

D 3．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”(

) A．总成立

C．当b≠0时成立

答案

C 解析

当b＝0时，不一定成立，因为零向量与任何向量都平行．

→→4．如图，在四边形ABCD中，若AB＝DC，则图中相等的向量是(

) B．当a≠0时成立

D．当c≠0时成立

B．a与b的方向相同

D．a＝0且b＝0

→→A.AD与CB

→→C.AC与BD

答案

D →→→→解析

∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴AO＝OC. 5．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1，其中正确的是(

) A．①④

C．①②③

答案

B 解析

a为任一非零向量，故|a|＞0. B．③

D．②③

→→B.OB与OD

→→D.AO与OC

6．判断下列命题中不正确的是命题个数为(

) ①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

A．1

B．2

C．3

D．4 答案

C 解析

①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．

②不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．

③正确．∵|a|＝|b|，且a与b同向．由两向量相等的条件可得a＝b. ④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定．

二、填空题

7．若对任意向量b，均有a∥b，则a为________．

答案

零向量

8．给出以下5个条件：

①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号) 答案

①③④

解析

相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．

→→→→9．在四边形ABCD中，AB＝DC且|AB|＝|AD|，则四边形的形状为________．

答案

菱形

→→解析

∵AB＝DC，∴AB綊DC

∴四边形ABCD是平行四边形，

→→∵|AB|＝|AD|，∴四边形ABCD是菱形．

→10．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD|＝________. 答案

23 1解析

易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO2→→→中，易得|BO|＝3，∴|BD|＝2|BO|＝23. 三、解答题

11．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，

然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．

→→→→(1)画出AD，DC，CB，AB；

(2)求B地相对于A地的位置向量．

→→→→解

(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．

→→(2)由题意知AD＝BC，

∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，

→→∴AB＝DC，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6米”．

—→—→—→12．如图，已知AA′＝BB′＝CC′.求证：

(1)△ABC≌△A′B′C′；

→——→→———→(2)AB＝A′B′，AC＝A′C′. —→—→证明

(1)∵AA′＝BB′，

—→—→—→—→∴|AA′|＝|BB′|，且AA′∥BB′. —→又∵A不在BB′上，∴AA′∥BB′. ∴四边形AA′B′B是平行四边形．

→———→∴|AB|＝|A′B′|. →———→→———→同理|AC|＝|A′C′|，|BC|＝|B′C′|. ∴△ABC≌△A′B′C′. (2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，

→———→→———→∴AB∥A′B′，且|AB|＝|A′B′|. →———→→———→∴AB＝A′B′.同理可证AC＝A′C′. 13．O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：

→→(1)分别找出与AO，BO相等的向量；

→(2)找出与AO共线的向量；

→(3)找出与AO模相等的向量；

→→(4)向量AO与CO是否相等？

千

→→→→解

(1)AO＝BF，BO＝AE. →→→→(2)与AO共线的向量有BF，CO，DE. →→→→→→→→(3)与AO模相等的向量有：CO，DO，BO，BF，CF，AE，DE. →→(4)向量AO与CO不相等，因此它们的方向不相同．