2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案设计范例

§2.3.2 §2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示

【学习目标】

1.理解并掌握平面向量的正交分解．

2．理解并掌握平面向量的坐标表示．

【重点难点】

平面向量的坐标运算

【使用说明】

1．依据学习目标，阅读教材P94– P98两遍，完成对教材的表层理解,把重点知识标记在书上, 找出疑惑之处，小组长课前检查,课上老师检查.考查. 完成导学案，适当总结。[来源:Z 2．用15分钟完成【问题导学】和【预习自测】，并尝试对【探究点】进行研究，用红笔标注疑问。用15分钟完成本导学案其它栏目

【问题导学】

1．向量的正交分解

把一个向量分解为__________________的向量，叫做把向量正交分解．

2．向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对________叫做向量a的坐标，记作a＝________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

3．平面向量的坐标运算

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

(1)a＋b＝_________________，a－b＝___________________即两个向量和、差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和、差．

(2)λa＝____________(λ∈R)．即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

→→(3)

若A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，O为坐标原点，则OA＝_______，OB＝_______，

→→→AB

＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝______________________即一个向量的坐标等于表示此向量的有

向线段的终点的坐标减去始点的坐标．

【预习自测】

→的坐标是(

) 1．A(1,3)，B(2,1)，则BAA．(－1,2)

B．(2，－1) C．(1，－2)

D．(－2,1) 132．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量2a－2b等于(

) A．(－2，－1)

B．(－2,1) C．(－1,0)

D．(－1,2)

→＝(3,7)，→＝(－2,3)，→＝(

) 3．在▱ABCD中，已知ADAB对角线AC、BD相交于O点，则CO

1

1A．(－2，5)

1B．(－2，－5) 11C．(2，－5)

D．(2，5) 4．若a＋b＝(－3，－4)，a－b＝(5,2)，则向量a＝________，向量b＝________. 三、合作探究：

探究一、向量的正交分解

例1：在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．

【思路分析】

本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、纵坐标的形式．

【思维总结】

(1)向量的坐标就是向量在x轴和y轴上的分量，而与向量的位

→的坐标为(B－A，B－A)．

置无关，如图AB2211

(2)利用任意角的三角函数定义，若a＝(a1，a2)，a的方向相对a1＝|a|cosθ，

于x轴正向的转角为θ，则有

a＝|a|sinθ.2

A

在第一象限，

变式1

已知

O

是坐标原点，点

探究二、平面向量的坐标运算

平面向量用坐标形式表示，向量的运算就能转化为代数形式的运算．

2

→

的坐标．

A

|

＝|O

→

4

∠

6

求向量OA

3，

x

OA＝

0°，

(1)已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，

→→→→→→→1→求AB、AC、AB＋AC、AB－AC、2 AB＋AC；

2

(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标．

→→【思路分析】

(1)先计算出AB，AC，再进行向量的线性运算．

(2)直接利用向量的坐标运算．

例2、

【误区警示】

用点的坐标求向量坐标时，本题易出现颠倒顺序的错误．

变式2、若a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(

) 31131311A.2a－2b

B.2a－2b

C．－2a＋2b

D．－2a＋2b

*探究三、向量坐标运算的综合应用

给出了向量的另一种表示——坐标表示式，向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．

例3、已知平面上三个点的坐标分别为A(3,7)，B(4，6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．

【思路分析】

A、B、C、D四个点能构成平行四边形的情况有三种：四边形ABCD为平行四边形，四边形ABDC为平行四边形，四边形ADBC为平行四边形．

方法技巧

1．向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形，即基底i，j垂直的情况．单位正交基底坐标：

i＝(1,0)，j＝(0,1)，零向量坐标0＝(0,0)．如例1

2．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．如例2

失误防范

1．点的坐标与向量坐标的联系与区别

(1)表示形式不同，向量a＝(x，y)中间用等号连结，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．

3

(2)意义不同，点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)．

(3)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．

2．已知两点坐标求向量的坐标时，一定要注意是用终点坐标减去起点坐标，同时要加强向量坐标与该向量起点，终点的关系的理解，以及坐标运算的灵活运用，向量的坐标运算可转化为实数的运算．

四、课堂小结

五、课外作业

1．下列各式中正确的是(

) A．a＝(－2,4)，b＝(5,2)，则a＋b＝(3,6) B．a＝(5,2)，b＝(2,4)，则a－b＝(－3,2) C．a＝(1,0)，b＝(0,1)，则a＋b＝(0,1) D．a＝(1,1)，b＝(1,2)，则2a＋3b＝(4,8) →＝(x，y)，则点Q的坐标为(

) 2．若P(x1，y1)，向量PQ22A．(x1－x2，y1－y2)

B．(x2－x1，y2－y1) C．(x1＋x2，y1＋y2)

D．(x1－x2，y1＋y2) →＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)，则DA→等于(

) 3．已知向量ABA．(x＋4,2－y)

B．(x－4,2－y) C．(x－4，y－2)

D．(－4－x，－y＋2) 4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是(

) A．(1,5)或(5,5)

B．(1,5)或(－3，－5) C．(5，－5)或(－3，－5)

D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5) 5、作用于原点O的三个力F1、F2、F3平衡．若F1＝(23，2)，F2＝(－23，4)，

则F3＝__________. 6、已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，则以e1，e2为基底，将a分解为λ1e1＋λ2e2的形式为a＝__________. →＝1M→7．已知两点M(3，－2)和N(－5，－1)，点P满足MP2N，求点P的坐标．

*8．正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，证明：EF＝PA.

9、设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d.

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