Learning about Language名师教学实录

1.3 空间几何体的表面积与体积

知识梳理

1.圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆台的侧面展开图是扇环. 2.几何体的表面积是指几何体表面的大小,棱柱、棱锥、棱台的表面积就是求各个面的面积和,圆柱、圆锥、圆台的表面积就是求侧面和底面的面积和. 3.设直棱柱的底面周长为C,高为h则S直棱柱侧=Ch. 4.设正棱锥的底面周长为C,斜高为h′,则S正棱锥侧=12Ch′.

12 5.设正棱台的上、下底面的周长分别为C、C′,斜高为h′,则S正棱台侧=(C+C′)h′.

6.设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则圆柱的侧面积S侧=2πrl,圆柱的表面积2S=2πrl+2πr. 2 7.设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面积S侧=πrl,圆锥的表面积S=πrl+πr 8.设圆台的上、下底面的半径分别为r1、r2,母线长为l,则圆台的侧面积S侧=π(r1+r2)l,圆台13的表面积S=π(r1+r2)l+π(r1+r2). 1322 9.设柱体的底面积为S,高为h,则V柱体=Sh;设锥体的底面积为S,高为h,则V锥体=设台体的上、下底面的面积分别为S上,S下,高为h,则V台体=13Sh; (S上+S下+2S3上S下)h. 10.球的表面积和体积都是半径R的函数,其中S球面=4πR,V球=43πR. 知识导学

要学好本节内容,可从我们熟悉的长方体、正方体的展开图入手,分析展开图与表面积的关系. 表面积是各个面的面积之和,求多面体表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系. 几何体占有空间部分的大小,叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义,而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间.相同几何体的体积相等,但体积相同的几何体不一定相同. 疑难突破

1.如何得到台体的体积公式？

剖析:如图1-3-1,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S′、S,高是h,设截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是h+x,则

图1-3-1

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V台体=V大锥体-V小锥体=13S(h+x)-13S′x=13［Sh+(S-S′)x］,而SSx2(hx)2

所以SSxhx,于是有x=ShSS代入体积表达式得V台体=13h［S+(S-S′)13SSS］

=h［S+SS′+S′］. 由于台体是由锥体截得的,所以,我们常常采用“还台为锥”的思想方法来研究台体的几何性质,即台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. 于棱台,由于截面与截面相似,所以其面积等于对应的平方比,同时也等于截得的棱锥的高与原棱锥高的平方比.可以据此确定相关变量的值,对于圆台,可通过轴截面的一半去研究相关量. 种化未知为已知、化生疏为熟悉的思想方法是我们研究几何问题常用的思想方法.台体的体积只与两底面的面积和它的高有关. 2.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式、体积公式有何联系与区别,能否统一？

剖析:棱台侧面积公式:

c′=0时,棱锥可以看作上底周长为0的棱台.

S上=0时,棱锥可以看作上底面面积为0的棱台; S下=S上时,棱柱可以看作上底面等于下底面的棱台.

图1-3-2 柱体、锥体、台体的侧面积与体积是由柱体、锥体、台体之间的关系决定的,表面积公式思路是立体几何问题转化为平面问题.曲面转化成平面,这是解决立体几何的主要出发点. 记忆口诀: 要求柱锥台,先把侧面来展开. 要解三棱锥,先把勾股关系推.

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