2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示板书设计

课题

教

学

目

标

重点

难点

知识与技能

过程与方法

情感态度价值观

2.3.2-2.3.3坐标的标示及运算 了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．

掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．

正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．

沟通向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化

区分向量终点的坐标与向量的坐标．

教学内容

探究点一

平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相

同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．显然有，i＝ ，j＝ ，0＝ ．

问题1 根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.

问题2 当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量的→坐标；当向量的始点不是坐标原点时，向量AB＝(xB－xA，yB－yA)．所以相等向量的坐标相同，从原点出发的向量和平面直角坐标系的点是一一对应关系．

请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量a，b，c，d所对应的点A，B，C，D.

教学环节与活动设计

教

学

设

计

教学内容

教学环节与活动设计

1

【典型例题】

例1 已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求：

→→→→→→1(1)AB－AC；(2)AB＋2BC；(3)BC－AC. 2→解

∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)．∴AB＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)，

→→→AC＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)，∴(1)AB－AC＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4) →→(2)AB＋2BC＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．

→→11(3)BC－AC＝(－8,4)－(－10,14)＝(－3，－3)．

22跟踪训练1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：

11(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 23解

(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．

(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1) 1111(3)．a－b＝(－1,2)－(2,1) 232312172＝－，1－，＝－，

23363例2 已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c. 解

设c＝xa＋yb，

则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1) ＝(－2x＋3y,3x＋y)，

10＝－2x＋3y，∴

－4＝3x＋y，解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b. 跟踪训练2 已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用b，c表示a.

2

教学内容

例3 已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．

→→解

设D(x，y)．则AB＝(4,1)，DC＝(5－x,6－y)，

→→5－x＝4x＝1由AB＝DC得，∴

6－y＝1y＝5∴顶点D的坐标为(1,5)．

跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．

→→教学环节与活动设计

教

学

设

计

(1)当平行四边形为ABCD时，AB＝DC，

∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，

1－x＝1，x＝0，∴

∴

∴D(0，－1)；

－2－y＝－1，y＝－1.(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3)；

(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)．

1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于

(

) A．(7,3) B．(7,7) C．(1,7) D．(1,3) →→→12．已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB2的坐标是 (

) 11A.－4， B.4，－C. (－8,1) D. (8,1) 223．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，→→

C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为

(

) 7B.2，－1 A.2， C. (3,2) D. (1,3) 22

教

向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量

学

的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．

小

结

课后

反思

3